第4-03讲-端点效应---学生版

癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学1越努力，越幸运！第03节端点效应一、知识纵横1.端点分析的原理端点分析是常见的含参函数的处理技巧，以⼀个典型的恒成立问题为例：设含参可导函数fx对任意xD，都有,0fxa恒成立．（1）若D是形如,m的开区间，那么就有；lim0lim0xmxfxfx．这种得到命题成立的必要条件的作法称为第I类端点分析；常考形式：如果,0fma，则由,0fma得到必要条件，再证明必要条件是充分条件（寻找矛盾区间）；（2）若D是形如,mn的闭区间，那么我们有00fmfn，这样我们就得到了参数的⼀个⼤致范围，也即命题成立的必要条件，这种作法称为第II类端点分析．常考形式：如果,0fma，则由,0fma得到必要条件，再证明必要条件是充分条件（矛盾区间）；如果,0fna，则由,0fna得到必要条件，再证明必要条件是充分条件（矛盾区间）．（3）有时命题并不一定是上述的特殊形式（下一讲隐极值点代换），但是自变量取边界值和某些特殊值时，不等式都成立，由此可以得到一些关于参数的不等式，缩小参数的范围，有效地减少讨论．端点情况出发，去揭示通过一些必要条件缩小参数范围、确定讨论的分界点这种方法的威力．为了简便，本文选择的例题中，缩小后的参数范围就恰好是所求的范围，虽然这看上去很巧，但事实上，在大部分这类问题中，我们遇到的情况都是如此．2.会利用端点分析技巧基本步骤处理复杂的存在性及恒成立问题（看例题解析）癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学2越努力，越幸运！二、典型例题【题型23恒成立求参之第I类端点分析】例1.（2006国2理20）若0,x，1ln1xxax恒成立，求实数a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学3越努力，越幸运！例2.（2007国2理20）设函数eexxfx．（1）证明：fx的导数2fx；（2）若0,x，fxax恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学4越努力，越幸运！例3.（2016国2文20）设函数1ln1fxxxax．（1）当4a时，求曲线yfx在1,1f处的切线方程；（2）若1,x，0fx恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学5越努力，越幸运！例4.（2006国1理21）设函数1e1axxfxx．（1）设0a，讨论yfx的单调性；（2）若0,1x，1fx恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学6越努力，越幸运！例5.（2017国II文21）设函数21exfxx．（1）讨论fx的单调性；（2）若0,x，1fxax恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学7越努力，越幸运！例6.（2010国理21）设函数2e1xfxxax．（1）若0a，求fx的单调区间；（2）若0,x，0fx恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学8越努力，越幸运！例7.（2010大纲2理22）设函数1exfx．（1）证明：当1x时，1xfxx；（2）若0,x，1xfxax恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学9越努力，越幸运！【题型23恒成立求参之第II类端点分析】例8.（2008理22）设函数sin2cosxfxx．（1）求fx的单调区间；（2）若0,x，fxax恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学10越努力，越幸运！【题型24恒成立求参之必要性探路】例9.（2013大纲文21）设函数32331fxxaxx．（1）当2a时，讨论fx的单调性；（2）若2,x，0fx恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学11越努力，越幸运！例10.（2019国1文20）设函数2sincosfxxxxx，fx是fx的导数．（1）证明：fx在区间0,π存在唯一零点；（2）若0,πx，fxax恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学12越努力，越幸运！例11.（2012大纲卷理20）设函数cosfxaxx，0,πx．（1）讨论fx的单调性；（2）若0,πx，1sinfxx恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学13越努力，越幸运！【题型25恒成立求参之矛盾区间应用】例12.（2014国2理21）设函数ee2xxfxx．（1）讨论fx的单调性；（2）设24gxfxbfx，当0x时，0gx，求b的最大值；（3）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学14越努力，越幸运！例13.（2018国3理21）设函数22ln12fxxaxxx．（1）若0a，证明：当10x时，0fx；当0x时，0fx；（2）若0x是fx的极大值点，求a．68gghfAAA