第六章共形映射讲义

华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology第六章共形映射共形映射的概念分式线性映射几个常见区域间的分式线性映射几个初等函数所构成的映射华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology§6.1共形映射的概念一、解析函数的导数的几何意义内任意一点，是内解析，在区域设DzDzfw0)(0)(0zf的几何意义：考察)(0zf点的有向光滑曲线，平面内一条过是设0zzCC0zttzzC)(:其参数方程为增大的方向。其正向为t)(,0)(000tzztz),(0tlz的方向。的正向为割线zzl0华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology方向相同。的方向与所以00ttzzl)()(00000tzttzzzztt时，当Tl的极限位置是切线割线TC0zlz一致。的方向与于是切线)(0tzT)(arg0tz即华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnologyuvo0wC0zlz)(zfwttzzC),(:ttzfw)),((:角为：处的切线与实轴正向夹在)(00zfw)]()(arg[)(arg000tzzftw)(arg)(arg00tzzf)(arg0zf华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology00000(1)arg(),arg()()wCzfzfzwfzz像曲线在的切线方向可由曲线在处的切线旋转角度得到称为在点转动角(导数辐角的几何意义);0(2)C(z转动角的大小、方向与过的曲线的形状无关转动角的不变性);上式表明：于是)(arg)(arg)(arg000tzzwzf的映射下，在)(zfw华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology12()CCwfz12、经映射后,像曲线、的夹角为:12uvoxyo12121221(CCzxCC0设、在处切线与轴正向夹角为、，则、夹角切线正向)为。1212))(arg())(arg(0102zfzf华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology00,iizzrewwe令00()()iiwwfz-fzezzz-zre00()isesr:取极限00|()|limzzfzs的几何意义：)(0zf0zz0wwr0称为曲线在z点的伸缩率(导数模的几何意义)。s:()wfz保角性在处具有保持两曲线夹角的大小、方向不变性。0z华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology(1)保角性;(2)伸缩率不变性。20()=z212w=fzzzi例求映射在转动角及伸缩率。00()|fzzC伸缩率的不变性:伸缩率|只与有关,而与过的曲线的形状无关。点具有性质：在则映射内解析，在区域设定理：000)(,0)(,)(zzfwzfDzDzfw哪一部分缩小？平面的哪一部分放大？并说明映射将z华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology(12)2(121)4fiii()12arg42fzii所以在转动角为,伸缩率为|4i|=4。:()222(1)fzzz解22)2(222)(yxzzf41)2(1)(22yxzf而大。的圆内部缩小，外部放为圆心，半径为把以所以，映射21242zzzw华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology定义：00)()()(zzfwzNzfw在有定义，若在某设)(zfw率不变性，则称处具有保角性和保伸缩处是保角的；在0z二、共形映射的概念则称之为映射，且为内每一点都是保角的，在若1-1)(Dzfw推论：处是保角的。在则为解析函数，若若000)(,,0)()(zzfDzzfzfw共形映射。华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology共形映射中的两个基本问题：，平面上的区域及已知共形映射Dzzfw)()1(*Dw平面上的相应区域求，平面上的已知区域，使它将求一共形映射Dzzfw)()2(*Dw平面上的指定区域映射成华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology221??w=zzyxxwz例试求在映射下,平面上的直线及的像曲线.在这两条曲线的交点处是否具有保角性旋转角、伸缩率是多少,w=uivzxiy解:令2222()2w=zuivxiyxyxyi则变为:即222uxyvxy1::zCyxw平面上直线在平面上的像曲线是120:2uvy平面上的上半虚轴。W华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology2:1:zCx平面上直线在平面上的像曲线是w平面上的一条抛物线2w=z1C2C0z0xy0uvi2yvyu21:22)1(42uv即华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology011,yxxzi与的交点为0041122(1)220izizidwziedz20001222w=zzizwi映射在交点处是保角的,且旋转角为,4伸缩率为,的像=。华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology1.分式线性映射及其分解2.分式线性映射的性质6.2分式线性映射及其性质•共形性•保圆性•保对称性3.确定分式线性映射的条件华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology形如)0(bcaddczbazw.射的映射称为分式线性映为复常数。、、、其中dcba,.0bcad).(0'常数复否则cww2)('dczbcadw:定义数在整个扩充平面上有补充定义使分式线性函zcacdzwc//0，时当一.分式线性映射及其分解.0wzc时，定义，在时当华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology,1cadczcadbc,0时当cdczbazw,逆映射仍为分式线性则映射其映射.-为11dczbazw所以)()()(dczcadbccadczcadadbazcw1,dcz令,dbzdaw,0时当c0))((bcadacwbdwz华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology称为反演映射。zwkhkzw1)2()0()1(因此，分式线性映射可分解为.称为线性映射华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology)0(1khkzw线性映射、hzwk,1时当xyoozhzwhzwhzuv平移映射。)(x)(y21hyvhxu于是21ihhhiyxzivuw设)(z)(w称为华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnologyxyoozkzwkzw:)0(的映射过程khkzwuv。最后平移向量倍或缩短伸长再将旋转先将hrzz,)(||,则设时当,,,0irekkzwhzrewi称为时,,1zewri称为时,,0rzw旋转映射相似映射)(x)(y华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnologyxyouvohkzw面上另一个三角形。平下可得在映射平面上的三角形对于例如，whkzwz,不改变图形的形状显然，映射)0(khkzw华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnologyzw12反演映射、:对称点的作法对称。关于圆周和则称且出发的射线上在由圆心圆外点及若圆内点的圆周半径为是以原点为中心设CBAROBOAOBARC,||||,,,2OBANRC。关于圆周的对称点为圆心规定O::关于圆周的对称点华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnologyz:111分解为将点。是关于单位圆周的对称与所以由于11,1||||wzwz:1,1的几何作法作出点则得到由关于实轴对称与再根据zwzww)(ux)(vyozw1wiierwwerzw11111irez设irez则华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology2.分式线性映射的性质.,性质出一般分式线性映射的从而得性质先讨论以上两种映射的共形性)1(zw1对于映射0;011wzwzzwzw)0(01'2zzw.10是保角的时，所以，当zwz由于因此1wz在扩充复平面上是一一的映射。华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology处的像曲线的夹角下在映射处曲线的夹角等于它们规定：01zi))(zfw将z映成)(0ww当时，作,1z若)1(fw在0处是保角的，则称)(zfw在z处是保角的；即有将ii))(zfw)(0zz映成w当时，作,1w若)(1zf在0zz处是保角的，则称)(zfw在0zz处是保角的；华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnologyiii))(zfwz映成w当时，作,1,1zw若)1(1f在0处是保角的，则称)(zfw在z处是保角的。将华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchinauniversityofscienceandtechnology时，当z.01点是保角的在zw.1点是保角的在zzw.1点是保角的在wwz.01点是保角的在即zzw.1映射在扩充复平面上为共形所以，zw)01(w解析，且华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案Eastchi