1罗琦-选修2-1利用空间向量解立体几何典型例题

一、空间角说明：以下涉及的点均为所属线或面上的任意点。在可以建立空间坐标系的前提下，以下的点的坐标可求出。1．异面直线所成的角点A，B直线a,C，D直线b。构成向量CDAB,。CDABCDABCDABCDAB,,,cos所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。例1．如图，已知直棱柱ABC-A1B1C1，在ABC中，CA=CB=1，090BCA，棱AA1=2，求异面直线BA1，CB1所成的角。2．线面所成的角AP与n的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP与平面所成的角，所以AP与n的角的余弦值的绝对值为直线AP与平面所成的角的正弦值。nAP,cosarcsin例2．棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1、B1C1的中点，(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求点A1D与平面EFBD所成的角。3．二面角的求法二面角l，平面的法向量m，平面的法向量n。nm,，则二面角l的平面角为或π。OAnPnllnmlllmnABCDABCD1111EF所以，nmnmnm,cos，若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则nm,为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则nm,为二面角的平面角。例2．如图，平面ABCD，ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成300的角。(1)求证：EG平面ABCD；(2)若AD=2，求二面角E-FG-G的度数；(3)当AD的长是多少时，点D到平面EFG的距离为2，请说明理由。二、空间距离1．点到面的距离点P到面的距离d可以看成AP在平面的法向量n的方向上的射影的长度。2．异面直线间的距离异面直线a,b之间的距离可以看成),(bFaEEF在a,b的公垂向量n的方向上的射影的长度。例4．长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，建立空间坐标系，求(1)异面直线D1F与B1E所成角的大小；(2)二面角D1-AE-D的大小；(3)异面直线B1E与D1F的距离。nnEFdEbaFn点到面的距离线到面的距离线到线的距离面到面的距离nnAPdOAnPnEGFDCBAA1C1B1BACDMABDCO3．线面距离直线a与平面平行时，直线上任意一点A到平面的距离就是直线a与平面之间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，例5．侧棱长为332，D是CB延长线上一点，且BD=BC。(1)求直线BC1与平面AB1D之间的距离；(2)求二面角B1-AD-B的大小；(3)求三棱锥C1-ABB1的体积。4．平面与平面间的距离平面与平面平行时，其中一个平面上任意一点到平面的距离就是平面与平面间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。例6．如图所示，在直三棱锥ABC-A1B1C1中，090ABC，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证；平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离。练习：1．（2008安徽文）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点。（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。NMABDCO2．（2008安徽理）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点。（Ⅰ）证明：直线MNOCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。3．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.4．（2008北京理）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．5．(2008福建文)如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD;（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离ACBDP6．(2008福建理)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由.、7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。8.(2008湖北文)如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC侧面11.AABB（Ⅰ）求证：;ABBC（Ⅱ）若1AAACa，直线AC与平面1ABC所成的角为，二面角1,.2ABCA的大小为求证：9.(2008湖北理)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥侧面A1ABB1.（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.B1C1D1A1CDABP10.(2008湖南理)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.11．(2008湖南文)如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，060BCD，E是CD的中点，PA底面ABCD，3PA。（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小。18．(2008全国Ⅰ卷理)四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．（Ⅰ）证明：ADCE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小．19．(2008山东理)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC,E，F分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值。20．(2008陕西理)三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为111ABC，90BAC，1AA平面ABC，13AA，2AB，2AC，111AC，12BDDC．（Ⅰ）证明：平面1AAD平面11BCCB；（Ⅱ）求二面角1ACCB的大小．PABCEDCDEABA1AC1B1BDC