1.2-向量函数

微分几何储亚伟©Copyright第一章预备知识§1.2向量函数储亚伟(一）、相关概念1.向量函数：一、向量函数的相关概念及运算引入：函数VS向量函数指从其定义域到的映射：D3R3::().rprpRD例如：13(){(),(),()},();rtxtytztRR23(,){(,),(,),(,)},();ruvxuvyuvzuvRR33(,,){(,,),(,,),(,,)},().fxyzPxyzQxyzRxyzRR储亚伟(一）、相关概念2.分析性质1）连续性：一、向量函数的相关概念及运算2）可微性：设有定义在区间上的向量函数[,]ab()((),(),()),,rtxtytztatb()rt连续(),(),()xtytzt连续.()rt可微(),(),()xtytzt可微.性质.kC向量函数的求导、积分、可微性、可积性等归结为其分量函数的求导、积分、可微性和可积性.储亚伟(二）、运算法则定理2.1(Leibniz法则)一、向量函数的相关概念及运算()()()()()();atbtatbtatbt设为可微的向量函数，则(),(),()atbtct（1）()()()()()();atbtatbtatbt（2）(),(),()(),(),()(),(),()(),(),().atbtctatbtctatbtctatbtct（3）储亚伟定理2.2设为二阶连续可微的向量函数，则()at（1）（2）（3）二、三类特殊向量函数()at()()0;atat定长当且仅当0()at()()0;atat定向当且仅当过原点直线()at二阶可微，若它垂直于定方向，则过原点平面.球面曲线(),(),()0.atatat反之，若上式成立，且处处有则必定与()()0atat，()at某定方向垂直储亚伟证明：二、三类特殊向量函数（1）因22()(),()()|()|atatatatat()at定长2|()|at定长()()0.atat故（2）因()at处处非零，取()at方向的单位向量1()|()|(),btatat()()(),atftbt()|()|ftat则其中连续可微.于是2()()()()()()()()()()(),.atatftbtftbtftbtftbtbtt“”由条件知是常向量，()btc()0.btc从而()()0.atat“”由条件知故()()0btbt，()()()bttbt，只需内积().bt储亚伟证明：二、三类特殊向量函数求导得1()0ate，1()0.ate()()()btatat(),(),()0atatat.反之，设令1()|()|()()()()()()0.atbtateatbtatatat1()0.ate（3）设()at使得与某定方向垂直，则存在单位常向量1e从而(),(),()atatat共面.（需假定()0bt）()()=0btbt？根据已经证明的(2)，的方向不变，设为，则.内积()bt1e1()|()|btbte由知，()0bt1()0.ate□储亚伟课外作业：1.证明定理2.1.2.设为等距变换，在中取定一个正交标架，令33:EE3E;,,Oijk3R为中全体向量构成的向量空间.定义映射.如果3E33::()()ABABRRA证明是线性映射.()OO，A3.设向量函数有任意阶导(函)数.用表示的阶导数，()rt()()krt()rtk并设处处非零.试求的充要条件.()(1)()()kkrtrt()(1)(2)(),(),()0kkkrtrtrt储亚伟微分几何慕课邀请码