2.2-曲线的弧长

微分几何储亚伟©Copyright第二章曲线论§2.2曲线的弧长储亚伟(一）、弧长的定义一、弧长的定义与求法问题：的物理意义？速度向量、速率与路程.()rt弧长定义：:C()rt中的正则曲线3E从0t到1t的(有向)弧长定义为：10|()|,(2.1)ttsrtdt弧长是曲线的一个不变量，它与正交标架及可允许参数变换无关.？.因此，曲线的弧长是一个几何量。储亚伟(二）、弧长的求法一、弧长的定义与求法.例1.平面正则曲线,](,[)yfxxab的弧长公式：222()1()).d(basxdxrfr例2.圆柱螺线()(cos,sin[0,],),ruauaubtuu的弧长：22220.tsabduabt例3.双曲螺线()(cosh,sinh[0,],),ruauauatuu的弧长：02cosh2sinh.tsauduat储亚伟二、曲线的弧长参数与判定（一）、弧长（自然）参数1.弧长参数的定义：的可允许参数变换，即总可以把正则曲线的弧长作其为参数，这种参数2.弧长元素：注意|()|dsrtdt也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素（或称弧微分）.()|()|tastrd（2.4）因3(),sstC()|()|0,str故()sst是曲线C的保持定向称为弧长参数或自然参数.储亚伟二、曲线的弧长参数与判定（一）、弧长（自然）参数例4.将圆柱螺线()(cos,sin,)rtatatbt化为自然参数表示.2222220,tssabduabttab222222()(cos,sin,).ssbsrsaaababab理论上，正则曲线总可取自然参数，但实际操作存在困难：1.（2.4）不易求出，如()(cos,sin,0).rtatbt2.反函数不易求出，如222()(,,0)()1ln(11).22ttrttsttt储亚伟二、曲线的弧长参数与判定定理2.1设(),[,]rrttab是3E中一条正则曲线，则t是它的弧长tC参数的充要条件是|()|1,rt即是弧长参数当且仅当沿着曲线切向量场是单位切向量场.（二）、弧长（自然）参数判定储亚伟作业练习：课堂练习：4课外作业：习题1单，2(1)，3.储亚伟微分几何慕课邀请码