3.1--正则参数曲面

微分几何储亚伟©Copyright第三章曲面的第一基本形式§3.1正则参数曲面储亚伟一、参数曲面.从平面的一个区域(region，即连通开集)到中的一个连续映射2R3ED3:()rDSrDE的象集称为中的一个参数曲面.在中取3E3E()SrD{;,,Oij定正交标架，建立笛卡尔右手直角坐标系，则参数曲面可}kS(,)uv以通过参数（parameter）表示成参数方程.(,),(,),(,),xxuvyyuvzzuv2(,)uvDR（1.1）或写成向量参数方程.(,)(,)(,)(,)(,),(,),(,)rruvxuviyuvjzuvkxuvyuvzuv(,)uv，（1.2）储亚伟一、参数曲面为了使用微积分工具，要求向量函数都是3次以上连续可微的.(,)ruvDr图3.1xyzuv00(,)uv00(,)ruv0uu0vv0(,)ruv0vvuu-曲线：让固定，变化，向量的终点描出的轨迹.v-曲线，参数曲线网储亚伟一、参数曲面直观上，参数曲面就是将平面中的区域经过伸缩、扭曲等连续变形SD3E后放到欧氏空间中的结果.()(,)()pSuvD曲纹坐标，即(,)(,).Opuvruv(,)puv一般地，由（1.1）给出的映射并不能保证曲面上的点与(,)uv该点的参数之间是一一对应的.为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件储亚伟二、正则参数曲面0000(,)(,)uuvrruvu0000(,)(,)vuvrruvv，（1.3）00(,)uv0000(,)0000(,):|[(,)][(,)]0uvuvuvuvrruvrrruvruv线性无关，即，则称或000(,)puv是的正则点（regularpoint）.如果上每一点都是正则点SS则称是正则参数曲面.S000(,)puv以下总假定是正则曲面.在正则曲面上每一点，由于S0000(,)(,),,0uuuuuuuvvvvvvvuvyzxzxyrruvyzxzxy（1.4）3E:(,)Srruv定义设为中的参数曲面.如果在点，两条参00(,)uv数曲线的切向量储亚伟二、正则参数曲面通过重新选取正交标架，不妨设;,,Oijk0000(,)(,)(,):0(,)uuvvuvuvxyxyxyuv(,),(,)xxuvyyuvUD00(,)uv根据反函数定理，存在的邻域，使得有连续可微的反函数(,)ufxy(,)vgxy，((,),(,)),((,),(,))xfxygxyxyfxygxyy即有储亚伟此时有的邻域和同胚映射.从而有连续000000(,)(,),(,)xyxuvyuv2VR:VU|US000(,)PuvS:()|UrrVrUSS映射.于是在的邻域内可用参数方程表示为(,)(,),(,),,((,),(,))rxyruxyvxyxyzfxygxy（*）(,)zFxy或表示为一个二元函数的图像，其中(,)(,),(,)zFxyzfxygxy（1.5）|US上式称为曲面片的Monge形式，或称为的显式方程.|US二、正则参数曲面储亚伟从（*）式可见是一一对应，从而:|:(,),,((,),(,))UrVSxyxyzfxygxy1:()|UrrUrUSS也是一一对应.这说明正则性条件至少保证了局部是一一对应.:rDSD()SrD为了确定起见，以下约定正则曲面与其定义域之间总是一一(,)puv(,)uv对应的，从而参数可以作为曲面上点的曲纹坐标.反之，由显式方程表示的曲面总是正则的：如果(,)zzxy(,),,(,)rrxyrxyzxy1,0,xxrz则，从而0,1,yyzr,,10xyxyrrzz二、正则参数曲面储亚伟三、可容许的参数变换曲面的定向（orientation）：对于曲面，规定所指的:(,)SrruvuvrrS一侧为的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换（transformationofparameter）时，要求参数变换(,),(,)uuuvvvuv（1.8）(,)uv(,),(,)uuvvuv满足：（1）是的3次以上连续可微函数；（2）不为零(,)(,)uvuv这样的参数变换称为可允许的（compatible）参数变换.当时，(,)0(,)uvuv称为保持定向（preservetheorientation）的参数变换.储亚伟根据复合函数的求导法则，在新的参数下，uuvuvrrruuvuvuvrrrvv，因此(,)(,)uvuvuvuvuvuvrrrrrruvvuuv（1.10）上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变.三、可容许的参数变换储亚伟四、正则曲面，正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的.但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.3R3R将与等同，赋予普通的度量拓扑，即以的标准度量确定的拓扑.3E33ERS定义1.1设是的一个子集，具有相对拓扑.如果对任意一点pSS2RpVUp存在在中的一个邻域(，其中是在中的邻域），和UVS3ED中的一个区域，以及同胚::(,)(,)(,),(,),(,)rDUuvruvxuvyuvzuv3ES()rD3E(,)ruv使得是中一个正则参数曲面，则称是中的一张正则曲面，(,)U1rrU简称曲面.上述的邻域和同胚的逆映射合在一起，将称为该曲面的一个局部参数化，或坐标卡.储亚伟四、正则曲面211122121122:()():(,)(,)rUUUUuvuv3E注的拓扑是作为的子集从诱导的相对拓扑，即作为的拓扑子空间S3E3E的拓扑.12UU12UU22(,)U11(,)U如果两个局部参数化，满足，那么正则参数曲面就有两个参数表示和.由此自然产生了参数变换111(,)ruv222(,)ruv利用正则参数曲面的3次以上连续可微性和正则性，则可以证明12UU上述参数变换是可允许的.储亚伟四、正则曲面，12UU2U1D112()UU1212()rUU1U2D1r2r1221rS直观上看，正则曲面是由一些正则参数曲面“粘合”而成的.只有那些与参数的选择无关的量才是曲面本身的几何量.如果一个正则曲面有一族SA(,)|UA保持定向的局部参数化（为指标集），使得构成的|UA开覆盖，则称该曲面是可定向的（orientable）.储亚伟.例1（平面）=(,)(,,0).rrxyxy例2（柱面）=(,)()().rruvauvll为单位向量(,)(cos,sin,)(cos,sin,0)(0,0,1).ruvauauvauauv五、正则曲面的例子2(,)uvDR（1.15）,0,.xayzv(0,2)DR0a其中.当时，圆柱面上少了一条直线特别地，圆柱面：222xya储亚伟五、正则曲面的例子如果取，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线(,)DR,0,xayzv(,)ruv显然是任意阶连续可微的.又(0,0,1)vr(cos,sin,0)0uvrrauau(sin,cos,0)urauau，，所以圆柱面是正则曲面.圆柱面也可以用一个坐标卡表示：222222,,ln(,)auavuvruvuvuv2(,)\{(0,0)}uvDR，所以圆柱面是可定向的.yzx(,)ruvvu图3.2储亚伟五、正则曲面的例子xyzNS图3.3(,)r例3球面，参数方程为22222(,,)|Sxyzxyza(,)(coscos,cossin,sin)raaa222(,)(0,2)(,)R，（1.16）储亚伟五、正则曲面的例子2cos(coscos,cossin,sin)0uvrra(sincos,sinsin,cos)ra(cossin,coscos,0)ra其中.由于，0a所以球面是正则曲面.问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)储亚伟五、正则曲面的例子xyz(),().xfvzgv()fvu图3.4(,)ruv例4旋转面设是平面上一条曲线，其中:(),()((,))CxfvzgvvabxOz()0fvC将绕轴旋转得到的旋转面参数方程为zS(,)()cos,()sin,()ruvfvufvugv2(,)(0,2)(,)uvabR，（1.18）储亚伟五、正则曲面的例子v旋转面上的-曲线称为纬线圆，-曲线称为经线圆.因为Su()sin,cos,0urfvuu()cos,()sin,()vrfvufvugv，22||()()()uvrrfvfvgv()()cos,()sin,()uvrrfvgvugvufv，S()0fvC所以当是正则曲线，并且时，是正则曲面.xyz储亚伟五、正则曲面的例子2L例5正螺面设两条直线和垂直相交.将直线一方面绕作1L2L1L匀速转动，同时沿作匀速滑动，的运动轨迹叫做正螺面.2L1L取初始位置的直线为x轴，为z轴，建立右手直角坐标系.则正螺面1L2L的参数方程为(,)cos,sin,ruvuvuvav2(,).uvR，（1.19）由cos,sin,0urvvsin,cos,vruvuvasin,cos,0uvrravavu，，可知正螺面是正则曲面.储亚伟五、正则曲面的例子()au()au例6直纹面|(,)uluab简单来说，直纹面就是由单参数直线族构成的曲面.储亚伟五、正则曲面的例子(,)uabC设（）是一条空间正则曲线.在上对应于参数的:()Caau(,)uab()luuL每一点有一条直线，其方向向量为.这条直线的参数方程可以写成:(;)()()uLrvuauvluS(,)abu让在区间内变动，所有这些直线就拼成一个曲面，称为直纹面它们的参数方程为(,)()()rruvauvlu，(,)(,)uvabR（1.20）曲线称为该直纹面的准线，而这个单参数直线族中的每一条直线CuLS都称为直纹面的一条直母线，也就是直纹面的–曲线.v储亚伟五、正则曲面的例子为了保证直纹面的正则性，要求()()()0uvrrauvlulu（1.21）|()|1lu|()|vvlu因为直母线的方向向量，通过参数变换，，可设()0luuu:()()()()Cauauulu再通过选取新的准线，其中是待定的函数，使得直()u()()0aulu母线处处与准线垂直相交，即.因为alalllal只领取()()()uauludu即可.储亚伟五、正则曲面的例子()luc1.当为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面称为柱面.S2.当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面称为锥面.SS()//()luau3.当时，称为切线曲面，由准线的所有切线构成.:()Caau这3种直纹面有共同的特征，在§3.6还要进一步讨论.储亚伟六、小结◆参数曲面正则：C^3+坐标曲线切向量叉积非零◆常见例子：平面、柱面（圆柱面）、旋转曲面（球面）、正螺面、直纹面等◆容许参数变换：C^3+Jacobi行列式非零◆显示表示必正则；梯度非零的隐式表示正则储亚伟微分几何慕课邀请码