常用分布概率计算的Excel应用

上机实习常用分布概率计算的Excel应用利用Excel中的统计函数工具，可以计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用概率分布的概率值、累积（分布）概率等。这里我们主要介绍如何用Excel来计算二项分布的概率值与累积概率，其他常用分布的概率计算等处理与此类似。§3.1二项分布的概率计算一、二项分布的（累积）概率值计算用Excel来计算二项分布的概率值Pn(k)、累积概率Fn(k)，需要用BINOMDIST函数，其格式为：BINOMDIST(number_s，trials,probability_s,cumulative)其中number_s：试验成功的次数k；trials：独立试验的总次数n；probability_s：一次试验中成功的概率p；cumulative：为一逻辑值，若取0或FALSE时，计算概率值Pn(k)；若取1或TRUE时，则计算累积概率Fn(k)，。即对二项分布B(n,p)的概率值Pn(k)和累积概率Fn(k)，有Pn(k)=BINOMDIST(k,n,p,0)；Fn(k)=BINOMDIST(k,n,p,1)现结合下列机床维修问题的概率计算来稀疏现象（小概率事件）发生次数说明计算二项分布概率的具体步骤。例3.1某车间有各自独立运行的机床若干台，设每台机床发生故障的概率为0.01，每台机床的故障需要一名维修工来排除，试求在下列两种情形下机床发生故障而得不到及时维修的概率：（1）一人负责15台机床的维修；（2）3人共同负责80台机床的维修。原解：（1）依题意，维修人员是否能及时维修机床，取决于同一时刻发生故障的机床数。设X表示15台机床中同一时刻发生故障的台数，则X服从n=15,p=0.01的二项分布：X～B(15,0.01)，而P(X=k)=C15k(0.01)k(0.99)15-k，k=0,1,…,15故所求概率为P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-(0.99)15-15×0.01×(0.99)14=1-0.8600-0.1303=0.0097（2）当3人共同负责80台机床的维修时，设Y表示80台机床中同一时刻发生故障的台数，则Y服从n=80、p=0.01的二项分布，即Y～B(80,0.01)此时因为n=80≥30,p=0.01≤0.2所以可以利用泊松近似公式：当n很大，p较小时（一般只要n≥30,p≤0.2时），对任一确定的k,有（其中=np）ekqpCkknkkn!来计算。由=np=80×0.01=0.8,利用泊松分布表，所求概率为P(Y≥4)=kkkkC8080480)99.0()01.0(≈8.0804!)8.0(ekkk=0.0091我们发现，虽然第二种情况平均每人需维修27台，比第一种情况增加了80%的工作量，但是其管理质量反而提高了。Excel求解：已知15台机床中同一时刻发生故障的台数X～B(n,p),其中n=15,p=0.01，则所求概率为P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-P15(0)-P15(1)利用Excel计算概率值P15(1)的步骤为：（一）函数法：在单元格中或工作表上方编辑栏中输入“=BINOMDIST(1,15,0.01,0)”后回车，选定单元格即出现P15(1)的概率为0.130312（图3-1）。图3-1直接输入函数公式的结果（函数法）（二）菜单法：1.点击图标“fx”或选择“插入”下拉菜单的“函数”子菜单，即进入“函数”对话框（图3-2）；2.在函数对话框中，“函数分类”中选择“统计”，“函数名字”中选定“BINOMDIST”，再单击“确定”；（图3-2）图3-2“插入”下的“函数”对话框2.进入“BINOMDIST”对话框（图3-3），对选项输入适当的值：在Number_s窗口输入：1（试验成功的次数k）；在Trials窗口输入：15（独立试验的总次数n）；在Probability_s窗口输入：0.01（一次试验中成功的概率p）；在Cumulative窗口输入：0（或FALSE，表明选定概率值Pn(k)）；图3-3“BINOMDIST”对话框4．最后单击“确定”，相应单元格中就出现P15(1)的概率0.130312。类似地若要求P15(0)的概率值，只需直接输入“=BINOMDIST(0,15,0.01,0)”或利用菜单法，在其第3步选项Number_s窗口输入0，即可得概率值0.860058，则P(X≥2)=1-P15(0)-P15(1)=1-0.860058-0.130312=0.00963。另外，P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-F15(1)，即也可以通过先求累积概率F15(1)来求解。而要求出F15(1)的值，只需在单元格上直接输入“=BINOMDIST(1,15,0.01,1)”回车即可；或利用上述菜单法步骤，在第3步的选项Cumulative窗口输入：1，即得到累积概率F15(1)的值0.99037，故有P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-F15(1)=1-0.99037=0.00963。对于例3.1，Y表示80台机床中同一时刻发生故障的台数，则Y服从n=80、p=0.01的二项分布，即Y～B(80,0.01)。所求概率为P(Y≥4)=1-P(Y≤3)=1-F80(3)利用Excel,在单元格上直接输入“=BINOMDIST(3,80,0.01,1)”回车或与上述菜单法类似操作可得累积概率F80(3)=0.991341，故所求概率的精确值为P(Y≥4)=1-P(Y≤3)=1-F80(3)=1-0.991341=0.00866。（注意：例3.1原解中的结果是泊松近似值）对于泊松分布、正态分布、指数分布等的概率计算步骤与上述二项分布的概率计算过程类似，只需利用函数法正确输入相应分布的函数表达式即得结果；或在菜单法的第2步选择POISSON、NORMDIST、EXPONDIST等函数名，根据第3步对话框的指导输入相应的值即可。下面我们列出这些常用分布的统计函数及其应用。§3.2泊松分布的概率计算一、泊松分布的（累积）概率值计算在Excel中，我们用POISSON函数去计算泊松分布的概率值和累积概率值。其格式为：POISSON(x,mean,cumulative)其中x:事件数；Mean：期望值即参数。Cumulative：为逻辑值，若取值为1或TRUE，则计算累积概率值P(X≤x)，若取值为0或FALSE，则计算随机事件发生的次数恰为x的概率值P(X=x)。即对服从参数为的泊松分布的概率值P(X=k)和累积概率值P(X≤k)，有P(X=k)=POISSON(k,,0)；P(X≤k)=POISSON(k,,1)。例如，在例3.1（2）的原解的泊松近似计算中，Y近似服从=np=80×0.01=0.8的泊松分布P()，需求P(Y≥4)。则在Excel中，利用函数POISSON(3,0.8,1)就可得到累积概率分布P(Y≤3)的值0.99092，则所求概率为P(Y≥4)=1-P(Y≤3)=1-0.99092=0.00908。§3.3正态分布的概率计算一、NORMDIST函数计算正态分布N(,2)的分布函数值F(x)和密度值f(x)在Excel中，用函数NORMDIST计算给定均值和标准差的正态分布N(,2)的分布函数值F(x)＝P(X≤x)和概率密度函数值f(x)。其格式为：NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)其中x:为需要计算其分布的数值；Mean:正态分布的均值；standard_dev:正态分布的标准差；cumulative:为一逻辑值，指明函数的形式。如果取为1或TRUE，则计算分布函数F(x)＝P(X≤x)；如果取为0或FALSE，计算密度函数f(x)。即对正态分布N(,2)的分布函数值F(x)和密度函数值f(x)，有F(x)=NORMDIST(x,,,1)；f(x)=NORMDIST(x,,,0)说明：如果mean=0且standard_dev=1，函数NORMDIST将计算标准正态分布N(0,1)的分布函数(x)和密度(x)。Excel求解例3.2(1)：对零件直径X～N(135,52)，应求概率P(130≤X≤150)=F(150)-F(130)在Excel中，输入“=NORMDIST(150,135,5,1)”即可得到（累积）分布函数F(150)的值“0.998650”，或用菜单法进入函数“NORMDIST”对话框，输入相应的值（见图3-4）即可得同样结果。图3-4“NORMDIST”对话框再输入“=NORMDIST(130,135,5,1)”（或菜单法）得到F(130)的值“0.158655”，故P(130≤X≤150)=F(150)-F(130)=0.998650-0.158655=0.839995。二、NORMSDIST函数计算标准正态分布N(0,1)的分布函数值(x)函数NORMSDIST是用于计算标准正态分布N(0,1)的(累积)分布函数(x)的值，该分布的均值为0，标准差为1，该函数计算可代替书后附表所附的标准正态分布表。其格式为NORMSDIST(z)其中z：为需要计算其分布的数值。即对标准正态分布N(0,1)的分布函数(x)，有(x)=NORMSDIST(x)。例3.3设Z～N(0,1),试求P(-2≤Z≤2)。则输入“=NORMSDIST(2)”可得(2)的值“0.97724994”，输入“=NORMSDIST(-2)”可得(-2)的值“0.02275006”，故P(-2≤Z≤2)=(2)-(-2)=0.97724994-0.02275006=0.95449988。三、NORMSINV函数计算标准正态分布N(0,1)的分位数函数NORMSINV用于计算标准正态分布N(0,1)的(累积)分布函数的逆函数-1(p)。即已知概率值(x)=p，由NORMSINV(p)就可以得到x(=-1(p))的值，该x就是对应于p=1-的标准正态分布N(0,1)分位数Z1-。函数NORMSINV的格式为NORMSINV(probability)其中probability:标准正态分布的概率值p。则对标准正态分布N(0,1)的分位数Z，有Z=NORMSINV(1-)。Excel求解例3.2(2)：在例3.2（2）原解的计算中，已求得9.0)5(，则由Excel中，NORMSINV(0.9)=1.281551，得281551.15，故=5/1.281551=3.901522。§3.4指数分布的概率计算一、指数分布分布函数值和密度值的计算在Excel中，函数EXPONDIST用于计算指数分布的(累积)分布函数值F(x)和概率密度函数值f(x)。其格式为：EXPONDIST(x,lambda,cumulative)其中x：为需要计算其分布的数值；Lambda：指数分布的参数值。Cumulative：为逻辑值，指定函数形式。若取1或TRUE，将计算分布函数F(x)；若取0或FALSE，则计算密度函数f(x)。即对指数分布的分布函数值F(x)和密度函数值f(x)，有F(x)=EXPONDIST(x,,1)；f(x)=EXPONDIST(x,,0)Excel求解例3.4：因X服从=1/1000=0.001的指数分布，由EXPONDIST（1000，0.001，1）可得分布函数F(1000)=P(X≤1000)的概率值0.632121，故所求的概率为P(X1000)=1-P(X≤1000)=1-F(1000)=1-0.632121=0.367879。§3.52分布的概率计算一、CHIDIST函数计算2分布的概率值在Excel中CHIDIST函数用于计算2分布的单侧概率值=P(2x)。其格式为CHIDIST(x,deg_freedom)其中：x用来计算2分布单侧（尾）概率的数值。Deg_freedom2分布的自由度