向量值函数积分学习题课

一、总复习题解答一、总复习题解答二、典型例题解答二、典型例题解答111(1)1,4LIdxdyLyxyxyx=+===∫v计算下面第二类曲线积分：，其中为曲线与直线围成的闭区域的正向边界。4212112113(2)44Idxdydyy=+++=∫∫∫解：AB222(2)[2cos()2cos()cos22LIyxydxyxydyLyxxxππ=++++==−=∫，其中为曲线上由到的一段弧。(,0),(,0).22ABABππ−解：加直线段，其中222[2cos()2cos()LAByxydxyxydy+++++∫4Dydxdy=−−∫∫cos2024xdxydyππ−=∫∫π=222[2cos()2cos()2AByxydxyxydy++++=−∫，2.Iπ=+所以AB22(1)(3)(1)LydxxdyILxy−−=−+∫v，其中为正向椭圆周2222(1)(1)(1)yxPQxyxy−−==−+−+解：令，，2221:(1)PQLxyyxε∂∂=−+=∂∂有，记(正方向)，122(1)0,(1)LLydxxdyxyε−+−−=−+∫v适当小，则故1LLI==∫∫vv2220(sincos)2dπθθθπ=−−=−∫22440.xyx+−=2214,xyxyLIeydxexdy+−=+∫v计算：222211xyxyxyxy++=+=−解：在椭圆上，，所以22111xyxyxyxyLLeydxexdyeydxexdy+−−−+=+∫∫vv()0.DQPdxdyxy∂∂=−=∂∂∫∫221;Lxyxy++=其中为正向椭圆xOyxyz222222222,5,(0,0),LxyzaydxzdyxdzLxyaxazx⎧++=⎪++⎨+=⎪⎩≥∫v，其中为曲线从轴的正向往负向看，取逆时针方向。解：由斯托克斯公式222Lydxzdyxdz++∫v2(coscoscos),SzxydSαβγ=−++∫∫S其中为球面位于圆柱内部部分的上侧。cos,cos,cosxyzaaaαβγ===，()0,SyxzydS+=∫∫所以所以2(),SxzyxzydSa=−++∫∫上式Sxozy因关于面对称，被积函数关于为奇函数，22SDxzdSxdxdya=−=−∫∫∫∫上式cos22022cosadrdrπθπθθ−=−∫∫34aπ=−xyz2221,6,LxyzxyzdzLyzz⎧++=⎨=⎩∫v，其中为曲线从轴的正向看去，取逆时针方向。L解：的参数方程为：11cos,sin,sin,22xyzθθθ===Lxyzdz∫v216π=22011cossincos22dπθθθθ=⋅⋅∫O思考：能否用斯托克斯公式计算？22204LLxdxaydyaxy−=+∫v设为平面上一条不过原点的光滑闭曲线，试确定的值，使，并说明理由。2222,,4.44xayQPPQaxyxyxy−∂∂====−∂∂++解：由，得(0,0)0;LDD∉=设所围成的区域为，侧有当时，原式222(0,0)4,DDxyε∈+=当时，在内作椭圆22'-0'4LLxdxaydyLxy+=+∫v则，其中的参数方程为22'1-cos,sin0,24Lxdxaydyxyxyεθεθ===+∫v，0.=所以原式(1)'()()tan0,QPxxxxyϕϕ∂∂=+=∂∂解：由，得()cos,(0)22.xcxcϕϕ===通解由，得(,)44(0,0)3()(0)2,[sin2()tan]()(1)()(2)[sin2()tan]()LxxyxxdxxdyxIxyxxdxxdyππϕϕϕϕϕϕϕ=−+=−+∫∫设函数具有连续导数，且已知曲线积分与路径无关，求；计算.(,)44(0,0)1(2)(2coscos2)2Iyxxππ=−24π=+12xyOABOxyD2222224(1)1SxdydzydzdxzdxdySxyz++++=∫∫计算下列第二类曲面积分：，其中为球面在第一卦限部分的上侧；222(1)xySDzdxdyxydxdy=−−∫∫∫∫解：12200(1)drrdrπθ=−∫∫8π=3.8π=由对称性得：原式2(2)2(1)84,,(0)0SyxdydzxydzdxxzdxdyxeSyaxz−+−⎧=≤≤⎨=⎩∫∫其中为曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的外侧。':S解：加辅助面2'2(1)84SSxdydzxydzdxxzdxdy+−+−∫∫222,()axeyza=+≤取前侧。222(1)yzaDedydz=−−∫∫222(1)aeaπ=−()0,VPRdVxyz∂∂Ω∂=++=∂∂∂∫∫∫2'2(1)Sxdydz=−−∫∫所以原式22222(3)()()()2,(12)SyzdydzzxdxdzxydxdySzxyz−+−+−=−−≤≤∫∫，其中为曲面的上侧；22':1,(1)Szxy=+≤解：加辅助面的下侧。222'()()()0SSyzdydzzxdxdzxydxdy+−+−+−=∫∫，2'()Sxydxdy=−−∫∫所以原式212200(cossin)drrrdrπθθθ=−∫∫4π=222(4)()()()11SyzdydzzxdxdzxydxdySxyzxyz+++++++=++≤∫∫，其中为平面位于球体内部部分的上侧。[()cos()cos()cos]SyzzxxydSαβγ=+++++∫∫解：原式21(),[coscoscos]33SxyzdSαβγ=++===∫∫22()33SdSS==⋅∫∫的面积。22211xyzSxyz++=⎧⎨++=⎩的面积为圆周的面积，13d=球心到平面的距离为，12133−=该圆周的半径为，22243393ππ⎛⎞=⋅⋅=⎜⎟⎜⎟⎝⎠故原式。OxyD3332222211(5)[][]14()SyyxdydzfydzdxfzdxdyzzyzSxyzzxyfu⎛⎞⎛⎞++++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠≤++≤≥+∫∫w，其中为由不等式，所确定的闭区域的全表面的外侧，具有连续导数。2223()VxyzdV=++∫∫∫解：原式22240013sindddππθϕρϕρ=∫∫∫93(22)5π=−3222222(6)()(2)(1)1(0)5169SxdydzydzdxzdxdyIxyzzxySz++=++−−−=+≥∫∫，其中为曲面的上侧。xOyzS1S2S32222()SxdydzydzdxzdxdyIxyz++=++∫∫原题：，10:PRSxyz∂∂Ω∂++=∂∂∂解：由于，加辅助面22222(2)(1)0,(1,)169xyzxyε−−=+≤+≥下侧，22222:()Sxyzε++=辅助面上半球面的下侧。xOyzS1S2S22(2)(1)1(0)5169zxySz−−−=+≥其中为曲面的上侧。12322220()SSSxdydzydzdxzdxdyxyz++++=++∫∫所以，1322220,()Sxdydzydzdxzdxdyxyz++=++∫∫又因为232222()Sxdydzydzdxzdxdyxyz++++∫∫2331132SVxdydzydzdxzdxdydVπεε=++=−=−∫∫∫∫∫2.π=所以原式xOyzS1S2S5(1,2)(3,4)2PABABFFPOOPyFPπ质点沿着以为直径的下半圆周，从点运动到点的过程中受到变力的作用，的大小等于点到原点之间的距离，其方向垂直于线段且与轴正向的夹角小于，求变力对质点所作的功。{,},Fyx=−JG解：p,ABWydxxdy=−+∫p22cos,3()4432sin,xAByθππθθ⎧=+⎪−≤≤⎨=+⎪⎩的参数方程为代入功的表达式得：p-2(1)ABWydxxdyπ=+=−∫6(1,0,0)(0,2,0)(0,0,3)(,,)ABCMabcFyzizxjxykabcFWW=++一质点从原点沿直线运动到以,,为顶点的三角形内一点，在此过程中，该知道受到力的作用，问当,,取何值时，力对知道所作的功最大？并求出的最大值。OMWyzdxzxdyxydz=++∫解：，,,(01)OMxatybtzctt===≤≤的参数方程为：，WabcWabc==代入功的表达式，即求在条件1(1)123123abcabcFabcλ++==+++−下的极值。令，max1221.339abcW====得驻点：，，.所以71(coscoscos)3coscoscosSSVxyzdSSαβγαβγ=++∫∫w证明：由曲面所包围的体积等于，其中,,为曲面的外法线的方向余弦。1(coscoscos)3SxyzdSαβγ++∫∫w证明：13Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫w＝VdVV==∫∫∫8cos(,)0.SSlnldSnS=∫∫GGGGw设为光滑的闭曲面，为某固定方向，证明：其中为曲面的外法线方向。SnG证明：设曲面的外法向量方向上的单位向量为0{coscoscos}nlαβγ=JJGG，，，方向上的单位向量为0000{coscoscos}lαβγ=JG，，，所以00cos(,)nlnl=⋅JJGJGGG000coscoscoscoscoscos.ααββγγ=++000cos(,)coscoscos0SSnldSdydzdxdzdxdyαβγ∴++=∫∫∫∫GGww＝21(sin())(cos),,(2,0)2(0,0)xxLIeybxydxeyaxdyabLAayaxxO=−++−=−∫计算其中为正常数，为从沿曲线到点的弧。OA解：补充有向线段，则(sin())(cos)xxLOAeybxydxeyaxdy+−++−∫()Dbadxdy=−∫∫220()2abaaxxdx=−−∫2()2abaπ=−(sin())(cos)xxOAeybxydxeyaxdy−++−∫2202aabbxdx−=−∫＝，22().22aabIbaπ=−−所以有OxyD323232222()()()SIxazdydzyaxdzdxzaydxdySzaxy=+++++=−−∫∫2计算曲面积分，其中为上半球面的上侧。222':0Szxya=+≤解：补充平面，，方向取下侧。323232'()()()SSxazdydzyaxdzdxzaydxdy++++++∫∫2223()VxyzdV=++∫∫∫22220003sinadddππθϕρρϕρ=⋅∫∫∫565aπ=323232'()()()Sxazdydzyaxdzdxzaydxdy+++++∫∫2xyDaydxdy∫∫＝-23200sinaadrdrπθθ=−∫∫44aπ=−546.54Iaaππ=+所以OxyDO2234(1,0)(1)LxdyydxILxyRR−=+∫v计算曲线积分，其中是以点为中心、为半径的圆周，取逆时针方向。2222,,44yxPQxyxy−==++解：而且222244PQyxyxxy∂∂−==∂∂+，由于闭曲线包含原点，'L作一椭圆曲线：2224(0)xyrr+=，取顺时针方向。cos,(02)2sin,rxyrθθπθ⎧=⎪≤≤⎨⎪=⎩其参数方程为：'LLD设曲线与围成的区域为，则有22'()0.4LLDxdyydxQPdxdyxyxy+−∂∂=−=∂∂+∫∫∫v22'4LxdyydxIxy−=−+∫v所以2202222coscossinsin22(sincos)rrdrπθθθθθθθ+=−+∫π=O2040()()0,()(0,)lim()1,()xSxxSxfxdydxxyfxdzdxezdxdyfxfxfx+→−−=+∞=∫∫设对于半平面内任意的有向光滑封闭曲面，都有其中函数在内具有一阶连续导数，且求.解：由高斯公式得20()-()-xSxfxdydzxyfxdzdxezdxdy=∫∫w2('()()())xVxfxfxxfxedV=±+−−∫∫∫，VS±其中为围成的有界闭区域，号视曲面的侧而定。2'()()()0.xSxfxfxxfxe+−−=由的任意性知：211'()(1)().xfxfxexx+−=即：11(1)(1)21()[]dxdxxxxfxeCeedxx−−∫∫=+⋅∫().xxeeCx=+00lim()lim()1,xxxxef