向量知识点总结

1向量知识点总结一、教学要求：1.理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义，了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。2.理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。3.掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、知识串讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算1.有关概念（1）向量——既有大小又有方向的量叫做向量。常用有向线段表示向量向量二要素方向长度（）向量的模—有向线段的长度，2||||ABa长度等于的向量叫做单位向量，10aaa||零向量（的方向不定），0000||（3）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。（）相等的向量——长度相等方向相同4ab规定：00向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。规定：零向量与任一向量平行。2.向量有三种形式（或三种表示）几何表示几何运算代数表示代数运算2坐标表示坐标运算3.向量的加法、减法与数乘（1）向量的加法——三角形法则或平行四边形法则如图：向量加法的多边形法则如图，求abc（2）向量的减法：ababab()，即向量加上的相反向量。（的箭头指向被减向量）ab（3）实数与向量的乘积aaaaaaaa长度·方向：时与同向时与反向时，∥||||||00003※∥（）存在唯一实数，使baaba04.向量的运算法则（加、减、数乘）设向量，，及实数，，则：abc①abba②()()abcabc③()aaa④()abab⑤·||||||aa⑥||||||||||ababab（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。）5.平面向量基本定理（向量的分解定理）eea12，是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量，存在唯一实数对，，使得。121122aee（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的和。叫做向量，的线性组合，，叫做表这一平面内所11221212eeeeee有向量的一组基底。①基底不唯一，关键是不共线②基底给定，分解形式唯一应用：设，不共线，点在直线上（即、、三点共线）OAOBPABABPOPOAOBR且（，）1（二）向量的坐标运算41.在直角坐标系内，分别取与轴，轴同方向的两个单位向量，作为基xyij底，则该平面内任一向量，有且只有一对实数，，使得，axyaxiyj称（，）叫做向量的（直角）坐标，记作，，即为向量的坐标表xyaaxy()示。（如图，当把向量的起点移至原点时，（，）是向量终点的axyaOAA坐标，即，，，是向量在，轴上的射影，与相等的向量的坐标Axyxyaxya也相同。）2.向量的坐标运算已知，，，，axybxyR()()1122则：（）11122abxiyjxiyj()()xxiyyjxxyy12121212，（），，设，，，212121122abxxyyAxyBxyBAabxxyy1212，||ABxxyy1221225（），，31111axyxy（三）平面向量的数量积1.数量积的概念设向量，，∠叫做向量与的夹角。记作OAaOBbAOBababab，，，0180（）数量·叫做与的数量积（或内积），记作·1||||cosababab即··abab||||cos（）数量积的几何意义：2abaabab·等于的模与在的方向上的射影的乘积。||||cos2.数量积的运算法则（）··，··1000abbaaa（）···2()()()abababR（）···3()abcacbc注意：数量积不满足结合律！（·）··（·）abcabc（），，，，则41122axybxy()()abxyxyxxyy·，·，112212123.重要性质（）设是单位向量，，，则···1eaeeaaea||cos（）⊥···2001212ababxxyy（）∥··或··3ababababab||||||||6abb（）（唯一确定）0xyxy1122，，xyxy12210（），即，··42222aaaxyabab||||||||||（）··5cos||||abab（四）定比分点与平移1.线段的定比分点设，，，，分点，，设，是上两点，点在上且PxyPxyPxyPPlPl11122212不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段所PPPPPPPPP121212成的比。（，在线段内；，在外）001212PPPPPP且，若为中点，xxxyyyPPPxxxyyy121212121211222.平移PPhkOPOPPP'''（，），由xyxyhk''，，，xxhyyk''平移公式