向量组的正交性

向量组的正交性一、向量的内积：1.定义1：设有向量),,(2,1naaa),,(2,1nbbb）。，的内积，记为（与称为向量nnbababa2211），（nnbababa2211Ti），（)())(，（），（ii）（，）（kkkiii,)(,)(）（，）（,)(,)(iv），（)(v222221naaa2.向量的单位化111为单位向量。1二、向量的夹角。三、向量的正交性：1.定义2.正交。与则称向量），若（,02.定义3.即满足两两正交，维非零向量个如果mnm,,,21)(,0jiji），（简称为正交组。为正交向量组,,,,21m则称向量组,0,.由定义知若则与任何向量都正交).1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(21neee为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。3.正交向量组的性质线性无关。则为正交向量组设mm,,,,,,,2121定理:回忆:如何证明一组向量线性无关?证:Okkkmm2211设0),(),(2211Okkkimmi0),(),(),(2211mimiikkk则为正交向量组,,,,21m0),(iiik00),(,iiiikO即由于为线性无关向量组。m,,,21)(,0jiji），（(i=1,2,···,m)问题:线性无关的向量组是否为正交组?不是!)1,0,0(),1,0,1(21反例：例1已知三维向量空间中两个向量121,11121正交，试求使构成三维空间的一个正交基.3321,,四向量空间的正交基.,,,,,,,,,,,212121的正交基向量空间是则称组是两两正交的非零向量且的一个基是向量空间若VVrrr即1312323123(,)0(,)20xxxxxx解之得132,0.xxx31,x若令则有1323101xxx由上可知构成三维空间的一个正交基.321,,则有1323(,)(,)0312312:,,0,,.Txxx解设且分别与正交五规范正交基.,,,,,,,,)(,,,3212121的一个规范正交基是则称向量两两正交且都是单位如果的一个基是向量空间维向量设定义VeeeeeeRVVeeenrrnr.212100,212100,002121,0021214321eeee例如.,,,44321的一个规范正交基为所以Reeee.1000,0100,0010,00014321.4的一个规范正交基也为R空间的标准正交基也不唯一1212,,,,,,,,rreeeVVeee若是的一个规范正交基那么中任一向量应能由线性表示1122rrαλeλeλe设表示式为(1,2,,),,,TiiTTiiiiiλireeαλeeλ为求其中的系数用左乘上式有(,).Tiiiλeααe即六、向量组的正交规范化：为线性无关向量组，令公式：设m,,,211111222），（），（11222231111333），（），（），（），（111122221111mmmmmmmmm），（），（），（），（），（），（等价；与mmi,,,,,,)(2121为正交组。mii,,,)(21正交向量组。为单位化，即得到单位再将m,,,21正交化单位化施密特正交化过程Schimidt例用施密特正交化方法，将向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)正交规范化.解先正交化，111,1,1,11222111(,)(,)1,1,1,111114114,0,1,13,1,2,0取132333121122(,)(,)(,)(,)8143,5,1,11,1,1,10,2,1,34141,1,2,0再单位化，22212130,2,1,30,,,14141414e33311121,1,2,0,,,06666e得规范正交向量组如下111111111,1,1,1,,,22222ea1a3a2几何解释b1;11ab2211121222111,(,)(,),1cabbbabcabbbb为在上的投影向量即;222cabc2b2,,2133平面上的投影向量的在平行于为bbacc312331231323132223313212,,,(,)(,),12bbcabbccababcccbbbb由于故等于分别在上的投影向量及之和即c31c32.333cabb3七、正交矩阵：1.定义4：1()TTnAAAEAAAn若阶方阵满足或，则称为阶正交矩阵。2.性质：.1)(AnAi阶正交矩阵为若也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若1)(AAnAiiT也是正交矩阵。与阶正交矩阵为若BAABnBAiii,)(3.正交矩阵的判定:组。向量组为单位正交向量的行（列）为正交矩阵定理：矩阵AaAnnij仅证列向量组的情形。),,,(21nAEAAAT为正交矩阵nTnTTTAA2121100010001E)(0),(,1),(jijiii为单位正交向量组。即n,,,21方法一、用定理。方法二、用定义。正交吗？AA,9/79/49/49/49/19/89/49/89/1nTnTnTnnTTTnTTT212221212111正交?,9/79/49/49/49/19/89/49/89/11AATA?,7444184811AATTABBAB91911TABAAB8119191111正交吗？AA,744418481不正交性质正交变换保持向量的长度不变．证明,为正交变换设Pxy.xxxPxPxyyyTTTT则有定义若为正交阵，则线性变换称为正交变换．PxyP八、正交变换：这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。性质正交变换保持向量的内积不变．1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．;11TAA;2EAAT;3单位向量的列向量是两两正交的A.4单位向量的行向量是两两正交的A小结2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A求一单位向量，使它与,1,1,1,11,1,1,1,123,1,1,23正交．Ex:),,,,(则由题意可得设所求向量为dcbax解.032,0,0,12222dcbadcbadcbadcba)263,261,0,1322(:x解之可得).263,261,0,1322(x或