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第八节函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．y＝f(x)在[a，b]上图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，仅是y＝f(x)在区间(a，b)内有零点的充分条件，不满足这个条件，函数f(x)在区间(a，b)内也可能有零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系3.二分法(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)：①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)＜0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)f(b)＜0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b)；第四步，判断是否达到精确过度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|＜ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．1．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是()A．0B．－1C．0，－1D．0,1【解析】∵f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点为3，∴3a－b＝0,3a＝b.令g(x)＝0得bx2＋3ax＝0，即bx2＋bx＝0，bx(x＋1)＝0，∴x＝0或x＝－1.∴g(x)的零点为0或－1【答案】C2．函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()【解析】∵B中x0左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零点的条件．【答案】B3．函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是()A．(0,1]B．(1,10]C．(10,100]D．(100，＋∞)【解析】由于f(1)f(10)＝(－1)×＜0根据二分法得函数在区间(1,10]内存在零点．【答案】B4．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值是____．【解析】若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其中有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.综上可知a＝0或a＝－.【答案】0或－5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)＜0，给定精确度＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．【解析】由f(2)·f(3)＜0可知．【答案】(2,3)判断下列函数在给定区间是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【思路点拨】第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解．【解析】(1)∵f(1)＝－20＜0,f(8)＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．(2)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有零点，求实数m的取值范围．【解析】设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]．(1)f(x)＝0在区间[0,2]上有一解．∵f(0)＝1＞0，对于二次函数(方程)，Δ≥0⇔f－b2a＝4ac－b24a≤0(a＞0)．也就是说，在(2)的不等式组中，Δ≥0可以由f－m－12≤0代替，这样，方程f(x)＝0在区间[0,2]上有两解相当于在0，－m－12上有一解，且在－m－12，2上有一解．1．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大；【解析】(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.(2)方法一：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a＞b＞c且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x1、x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)．【证明】(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0.又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，所以函数f(x)有两个零点．可将方程根的问题转化成函数零点的问题，借助函数的图象和性质进行解答．2．x1与x2分别是实系数方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0.求证：方程x2＋bx＋c＝0有一个根介于x1和x2之间．【证明】由于x1与x2分别是方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的根，所以有函数、方程与不等式之间的联系是不可分割的，对函数是否存在零点，有多少个零点的判断自然会涉及到函数的图象和性质，对函数零点问题的考查，涉及的知识面之宽、方法这多、灵活性之大都是可以想像的．1．(2009年山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．【解析】设函数y=ax(a＞0，且a≠1)和函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有两个零点，就是函数y=ax(a＞0，且a≠1)与函数y=x+a有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合；如图所示，当a＞1时，因为函数y=ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1.【答案】a＞12．(2009年福建卷)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln【答案】A课时作业点击进入链接