极限与连续解读

第一章函数、极限与连续第一节函数第二节极限的概念第三节无穷小量与无穷大量第四节极限的性质与运算法则第五节两个重要极限第六节函数的连续性第一节函数函数的概念:fxy一对一几对一对应法则定义域值域表示法：解析法表格法图像法７．分段函数的定义域为各段落有意义区域的并集。函数的定义域１．分式，分母必须不等于零；２．偶次根式，被开方式必须大于等于零；３．对数，真数必须大于零；４．正切符号下的式子必须不等于（），余切符号下的式子必须不等于（）；2kZkkZk５．反正弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1，反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1；６．表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集；例求下列函数的定义域.函数函数有定义的条件定义域16)(2xxf),4[]4,(0162x),0()0,(0x04203xx]1,3[0x)3,2(21arcsin)(xxf1211x030)(2xxxxf)42ln(31)(xxxf或例求函数值．函数值函数211xxf221xx)2(f51)(af)1(xf)1(xf2212xx211a)]([xff2)]([11xf42422221xxxx函数性质有界性奇偶性单调性周期性xysinxycosxyarctanxarcycot偶函数53)(24xxxfxxxfcos4xxeexf21奇函数两非函数函数在区间),0［2xy］0,(xyxycot,tanxyxycos,sin复合函数例指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。函数复合过程45sinxy45,sinxuuyxylnlnxvvuuyln,,lnxy2sinxuuysin,2xey1sinxvvueyu1,sin,cyxay1,0aaxyalog1,0aaxysinxycosxytanxycotxysecxycscxyarcsinxyarccosxyarctancotyarcx，，xy(为任意实数）基本初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。邻域)(00xx，思考题(0)xyxx如何用初等函数表示第二节极限的概念极限lim4n40limnCC(1)limnnn21lim1nn1limnn34lim1nnn011lim(3)1nn3判断，当时，极限是否存在.(1)nynnsin2nngn当时，不趋近于确定的常数，极限不存在.nny当时，不趋近于唯一的常数，极限不存在.nng不存在lim(1)nn1limxx21lim(1)xx1lim2xxlim2xx01001lim2xx1lim2xx不存在lim2xxlim2xx不存在21limxxx1limxxe10limxxe21lim(2)xx10e01limxx01limxx01limxx不存在10limxxe10limxxe不存在02lim(32)xx211lim1xxxlimsinxx0limsinxx1limsinxx01limsinxxlimarctanxxlimarctanxx41lim(1)2xx0不存在不存在022例已知，求21()2222xxfxxx12lim(),lim()xxfxfx解11lim()limxxfx2222lim()limxxfx?22lim()limxxfx22lim()limxxfx22x22lim()2xfx例已知，求||()xfxx10lim(),lim()xxfxfx解10()10xfxx11lim()lim11xxfx00lim()lim(1)1xxfx00lim()lim11xxfx0lim()xfx不存在第三节无穷小量与无穷大量无穷大量无穷小量11lim1xx0limlnxxlimlnxx2limxxlimxxe称为的无穷大量11yx当时1x称为的负无穷大量lnyx当时0x称为的正无穷大量lnyx当时x称为的无穷大量2yx当时x称为的无穷大量xye当时x正1lim1xx1limlnxx20limxxlimxxe0000称为的无穷小量11yx当时x称为的无穷小量lnyx当时1x称为的无穷小量2yx当时0x称为的无穷小量xye当时x注意：0lim()xxfx0lim()xxfx不存在两个无穷大量的和、差、商不一定是无穷大量有界函数与无穷小量的积是无穷小量1limsinxxx01limsinxxx0010xsin1x1sin1x0x无穷大量的倒数是无穷小量无穷小量的倒数是无穷大量例如2lim(1)xx21lim01xx1lim(1)0xx11lim1xx0lim()xxfxA0()(lim0)xxfxA第四节极限的性质与运算法则极限的四则运算法则4limsinsin2sin3xxxx247lim21xxx3sinsinsin42412167913)1arcsin(coslim20xxexx1arcsin0cos0e200lim()()xxfxfx连续22468lim54mmmmm4(4)(2)lim(4)(1)mmmmm42lim1mmm23331lim21xxx321lim21xxx31lim21xxx3311lim12xxx12010101010,lim,0,nnnmmxmmnaxaxaamnbxbxbbmn()∞∞coslimxxx练习：01limsinxxx231lim2xxx31lim1xxx3021limxxx3111lim11xxx000311lim1xxx3第五节两个重要极限1.1sinlim0xxx极限类型：两个重要极限00特点：1sinlim0x2coslim2xxx1例如1xxx)sin(lim122sinlim0xxxxxx55sinlim0xxx2)2sin(lim21xxx1)1sin(lim0xxx4sinlim0xxxsinlim1sinxxx44sinlim404xxxsin1lim0例求下列极限00bxaxxsinsinlim01)1sin(lim21xxx0000nxmxxsinlim021211111)1sin(lim0xxxxnmnmbxbxaxaxxsinsinlim0babamxxsinlim0mx20cos1limxxx00422sin2lim220xxx2022sinlim21xxx21xxxxxsinsinlim000xxxxxsin1sin1lim001111xxxtanlim000xxxxcos1sinlim010cos11xxx3sin2tanlim000xxxxx33sin22tanlim032322、极限类型：1特点：e][][][11limexxx11lim例用第二个重要极限计算下列极限xxx3231limxx231limxxx41lim14exx41lim4x4132x2929exxxx1232lim1xxxx211231lim2122332211lim231limxxxxxxeee21231xxx1031lim3)3(1lim0xxx313exxx311)31(limxxx311)3(1lim)1(1e131)2(xxxsec32cos1lim132cos1cos1limxxx3e3、极限运算举例)()(lim00xfxfxxRnn,001lim;lim,01limxxxx1、几个常见极限（2）)(xf（1）若函数在处连续，则0xlim0xxelim0xxe，（3）（4）及不存在。（5），（6）（7）＝；＝limsinxx01limsinxx01limsinlimsin0xxxxlimarctan2xxlimarctan2xx10101010,lim,0,nnnmmxmmnaxaxaamnbxbxbbmn0sinlim1xxx0tanlimxxx1lim1xxex10lim(1)xxx23∞∞()第六节函数的连续性函数的连续性函数在点处有定义()fx0x0lim()xxfx00lim()()xxfxfx函数在点处连续()fx0x连续点左连续右连续00lim()()xxfxfx00lim()()xxfxfx例讨论函数在处的连续性()21fxx1lim()3(1)xfxf因为函数在的任一邻域内有定义，且()21fxx1x1x解所以函数在处连续()21fxx1x例讨论函数在处的连续性22()22xxfxxx2x解因为函数的定义域为，()yfx(,)所以函数在的任一邻域内有定义，且2x2lim(2)4xx22lim4xx2(2)24f即2lim()(2)xfxf所以函数在处连续()yfx2x例讨论函数在处的连续性sin,0()101sin,0xxxfxxxxx0x解显然函数在的任一邻域内有定义，且0x0sinlimxxx01limsinxxx100lim()xfx所以函数在处不连续()yfx0x10xxx00()()yfxxfx自变量的改变量函数的改变量函数在点处有定义()fx0x函数在点处连续()fx0x0lim0xy例讨论函数在处的连续性()21fxx1x解因为函数在的任一邻域内有定义，且()21fxx1x(1)(1)2(1)132yfxfxx显然00limlim20xxyx所以函数在处连续()21fxx1x间断点函数在点处没有定义()fx0x00lim()()xxfxfx0lim()xxfx0lim()xxfx但满足下列条件之一的，即为间断点例如311xyx在处1x10()0020xxfxxxx