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双色球的数理统计分析（一）青年问禅师：“我想要很多钱。”禅师：“只要你能集齐七个球，就能实现所有愿望。”青年：“……你说的是七龙珠？”禅师摇头说：“不，是双色球。”——题记一、理论中奖概率一注双色球号码由6个红球号码和1个蓝球号码组成。红、蓝球分别使用两个摇奖器，红球从1~33中选择，蓝球从1~16中选择，所有可能的号码组合共有17721088种。假设每种组合出现的概率均等1，中N+0及N+1的概率分别用以下公式计算：。双色球各个奖等的中奖率如右表。为了对一等奖的概率有一个概念，下面列出了一些与双色球一等奖概率相当的事件。一年内出两次车祸从七层跳楼7次每次皆被救回随手掷十个骰子点数全相同二、红球号码特征概率1、基本特征基本特征指号码所固有、不受其他号码影响的属性。设33个红球号码中共有a个具有某种相同特征，引入随机变量N代表开奖号中具有该特征的号码个数，则N满足超几何分布：。奇偶特征以N表示开奖号码中偶数的个数，算得其概率分布。开出3个偶数的概率最大。质合特征以N表示开奖号码中质数的个数，概率分布如下表。开出2个质数的概率最大。2、组合特征仅考虑重号，重号指当期开奖号中存在着与上期开奖结果相同的号码。以N表示重号1实际中不一定满足，因为无法直接验证。见第三部分。个数，概率分布函数为3、极端情形汇总之前的结果，列出一些“极端”号码特征出现的概率。A.全偶数：0.0072（≈1/139）。B.全质数：0.0004（=1/2500）。C.五重号：0.0001（=1/10000）。****统计检验****截止2017年10月12日，双色球共开奖2172期，其中全偶数出现26次，频率≈0.012。全质数尚未出现过2。五重号出现过1次（13077期），频率≈0.00046。我们发现全偶数、五重号的频率均比理论值要大，这里做进一步分析。（1）验证偶数个数N的分布是否和理论分布一致。我们使用“卡方检验”中的描述实际与理论的偏离值，算得=13.508。查自由度=6的卡方分布表得=12.59213.508。因此，在0.05的显著水平下，开出偶数号码的个数N不符合理论分布。（2）开出五重号的分析开奖2172期至少出现1次五重号的概率为≈19.5%，概率值虽不大但不构成小概率事件。因而可认为红球开出1次五重号是完全“正常”的。三、双色球出号的等概率性检验所谓“等概率性”指每次摇奖过程3中，处于摇奖状态的红球/蓝球中任一号码都等可能地出现。（1）蓝球假设等概率性得到满足，则任一号码出现的概率为1/16。根据截止到2017120期的全部历史开奖数据，我们算得=8.081，查得自由度为15的卡方分布=24.996，8.08124.996，因此蓝球的出号是等概率的。（2）红球每期红球号码的产生经过6次摇奖，需要逐次分析。不难算出4，第一个号码的出号2有报道提到开出过全质数，是把1当成了质数。1非质数，也非合数。3摇奖机搅拌一次为一次摇奖过程，红球号码的产生包含6次摇奖过程。4=32.26（46.194）。限于篇幅，各个号码出现次数的统计表未列出。开奖号码偶数个数N的理论分布和实际的比较是等概率的。分析第二次摇奖时，由于已开出一个号，导致待摇奖的号码几乎每期都不同，必须选取第一个红球相同的数据，此时样本量不足，无法进行统计分析，第三次、四次等的摇奖更是如此。从另一方面看，“每次摇奖均满足等概率性”等价于“红球号码的所有可能组合中，每一种组合出现的概率均等”，而红球的组合有1107568种，现在共开奖2172期，也不足以做统计分析。结论：根据已有数据，可以认为红球的第一次摇奖具有等概率性，但不足以验证双色球的每种可能组合出现的概率是否均等。