形象解说四元数

形象解说四元数Bydaode12122016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(WilliamRowanHamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutativelaw），即a*bb*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：WilliamRowanHamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：publicQuaternion(floatx,floaty,floatz,floatw)；publicQuaternion(OpenTK.Vector3v,floatw)；例如用Quaternion(floatx,floaty,floatz,floatw)：OpenTK.Quaternionq=newOpenTK.Quaternion(0.51f,-0.71f,0.31f,0.7071f);1,四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2,四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3,四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1,q.Length;返回值是:2,q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。三，四元数的规范化[单位化]OpenTK.Quaternionq2=OpenTK.Quaternion.Normalize(q1);//单位化,使平方和等于1四元数建构方式二、方式三在这方面有明显优势。四，四元数的共轭OpenTK.Quaternionq2=OpenTK.Quaternion.Conjugate(q1);//共轭,仅向量取反方向若q=w+(ix+jy+kz);p=w-(ix+jy+kz);则q,p称为共轭,记q=p*或p=q*;共轭为取四元数中的标量与向量提供了方便：1、四元数的标量部：S=(q+q*)/2；2、四元数的向量部：V=(q-q*)/2；五，四元数的转置OpenTK.Quaternionq2=OpenTK.Quaternion.Invert(q1);//倒数,转置：方向相反，模互为倒数六，四元数的逻辑运算主要是相等，不相等的判断：q1==q2,q1!=q2boolb=q2.Equals(q1);七，四元数的算术运算运算符有：+、-、*，对应有Add(q,p)、Sub(q,p)、Multiply(q,*)加法的定义：publicstaticOpenTK.QuaternionAdd(OpenTK.Quaternionleft,OpenTK.Quaternionright)减法的定义：publicstaticOpenTK.QuaternionSub(OpenTK.Quaternionleft,OpenTK.Quaternionright)乘法有二种：publicstaticOpenTK.QuaternionMultiply(OpenTK.Quaternionquaternion,floatscale)publicstaticOpenTK.QuaternionMultiply(OpenTK.Quaternionleft,OpenTK.Quaternionright)注意，乘法没有交换律：q2*q1!=q1*q2乘法的定义和数学算法如下：例如：四元数与标量相乘，是对原四元数在正方向或反方向进行伸缩：OpenTK.Quaterniondq2=OpenTK.Quaterniond.Multiply(q1,0.5f);//q1*0.5四元数与四元数相乘，是两种旋转的叠加作用：OpenTK.Quaterniondq3=OpenTK.Quaterniond.Multiply(q2,q1);//q2*q1q3=q1·q2=(a1a2-b1b2-c1c2-d1d2)+i(a1b2+b1a2+c1d2-d1c2)+j(a1c2+a2c1+b2d1-d2b1)+k(a1d2+d1a2+b1c2-c1b2)四元数与四元数相乘是不容易心算的游戏，就方向的变化也很难摸准，见下例：//向量连乘效果图：privatevoidQuatMults()//向量连乘效果图{qs[0]=newOpenTK.Quaternion(.5f,-.6f,-.7f,.4f);DwQuat(qs[0],Color.FromArgb(255,255,0),4f);qs[1]=newOpenTK.Quaternion(-.6f,-.5f,.4f,.6f);DwQuat(qs[1],Color.FromArgb(0,255,255),4f);for(inti=0;i255;i++){qs[i+2]=OpenTK.Quaternion.Multiply(qs[i],qs[i+1]);qs[i+2]=OpenTK.Quaternion.Normalize(qs[i+2]);DwQuat(qs[i+2],Color.FromArgb(i,i,i),2f);}}//表现四元数：privatevoidDwQuat(OpenTK.Quaternionq,Colorclr,floatd){//画线段：GL.LineWidth(d);GL.Begin(BeginMode.Lines);GL.Color3((byte)clr.R,(byte)clr.G,(byte)clr.B);GL.Vertex3(0,0,0);GL.Vertex3(q.X,q.Y,q.Z);GL.End();//画球：GL.PushMatrix();GL.Translate(q.X,q.Y,q.Z);GL.Color3((byte)clr.R,(byte)clr.G,(byte)clr.B);Glu.Sphere(Glu.NewQuadric(),.05,9,9);//画球GL.PopMatrix();}三维效果如下：正是这一特点，可以让程序建构出很多艺术品出来。四元数的除法，如果按乘法的逆运算是除法这一法则去找因数1、因数2，要解一个4X4的联列方程组，可参考下面的矩阵：先用克莱姆法则判断一下，它的解可能唯一，可能无解，也可能有无数多组解。设：q3=q1*q2（q1:左四元数因子，q2:右四元数因子），如果把左、右因子分别叫作左、右商，我们可以自己构造函数进行计算：//除法1:求左商,右商:OpenTK.Quaternionq=QuaternionDiv(qs[1],qs[0],1);//LR=1:返回右商OpenTK.Quaternionq1=QuaternionDiv(qs[1],qs[0],-1);//LR=-1:返回左商//除法2:以qs[0]的转置乘qs[1]OpenTK.Quaternionq2=OpenTK.Quaternion.Multiply(qs[2],qs[1]);实际计算表明，两种除法不一致，所以不应该用转置来替代除法。四元数连除三维图为了测试255次连续相除，设计算法如下:进行12次迭代后制作了下图之前另一算法的效果图:八，“轴+角”方式转四元数publicstaticOpenTK.QuaternionFromAxisAngle(OpenTK.Vector3axis,floatangle)其中OpenTK.Vector3axis是轴向量，floatangle是以弧度表示的角如：OpenTK.Quaternionq3=OpenTK.Quaternion.FromAxisAngle(newVector3(0.4f,0.4f,0.8f),PI/2f);九，四元数转“轴+角”方式1，publicOpenTK.Vector4ToAxisAngle()2，publicvoidToAxisAngle(outOpenTK.Vector3axis,outfloatangle)其中OpenTK.Vector4形如（floatx,floaty,floatz,floatangle）floatangle是以弧度表示的角。如：OpenTK.Vector4v4=q3.ToAxisAngle();十，四元数到欧拉角的转换//四元数转欧拉角,欧拉角的球面RGB(用自定义类实现):privatevoidQuaternionToEulerAngle_BallRGB(){//声明类与结构:EularEL=newEular();Quaternionq=newQuaternion();EulerAngleea=newEulerAngle();//利用三角式生成四元数:doublePI=3.1416;//doublea=PI/8;doubleb=PI/2;doublec=0;//转轴:Y轴,转动角:PI/4//doublea=PI/2;doubleb=0;doublec=0;//转轴:X轴,转动角:PI//doublea=PI/2;doubleb=PI/2;doublec=0;//转轴:Y轴,转动角:PI//doublea=PI/2;doubleb=0;doublec=PI/2;//转轴:Z轴,转动角:PIdoublea=PI/2;//转动角:2a(=PI)doubleb=PI/2;doublec=0;for(b=-PI;bPI;b+=.1){for(c=-PI/2;cPI/2;c+=.1){q.w=Math.Cos(a);q.x=Math.Cos(b)*Math.Cos(c)*Math.Sin(a);q.y=Math.Sin(b)*Math.Cos(c)*Math.Sin(a);q.z=Math.Sin(c)*Math.Sin(a);//四元数转欧拉角:ea=EL.QuaternionToEulerAngle(q);byteR=(byte)(255*(PI+ea.pitch)/(2*PI));byteG=(byte)(255*(PI+ea.yaw)/(2*PI));byteB=(byte)(255*(PI+ea.roll)/(2*PI));GL.Color3(0f,0f,0f);GL.LineWidth(4f);GL.Begin(BeginMode.Lines);GL.Vertex3(0,0,0);GL.Color3(R,G,B);GL.Vertex3(q.x,q.y,q.z);GL.End();}}}四元数转欧拉角,欧拉角的球面RGB四元数转欧拉角的数学算法如下，不同的坐标系可能要作适当的调整：如果分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，则有：十一，欧拉角到四元数的转换privatevoidEulerAngleToQuaternion(){doubleA=Math.PI/6;doubleB=Math.PI/4;doubleC=Math.PI/2;doublec1=Math.Cos(A/2);doubles1=Math.Sin(A/2);doublec2=Math.Cos(B/2);doubles2=Math.Sin(B/2);doublec3=Math.Cos(C/2);doubles3=Math.Sin(C/2);doublew=c1*c2*c3-s1*s2*s3;doublex=s1*s2*c3+c1*c2*s3;doubley=s1*c2*c3+c1*s2*s3;doublez=c1*s2*c3-s1*c2*s3;//窗体