柯西不等式的应用技巧

1柯西不等式的应用技巧及练习柯西不等式的一般形式是：设1212,,,Rnnaaabbb，则222222212121122()()()nnnnaaabbbababab当且仅当1212nnaaabbb或120nbbb时等号成立．其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强．一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,nnaaabbb和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧．例1已知,,225xyzxyzR,,且求222(5)(1)(3)xyz的最小值．例２设,,Rxyz，求证：22222222222xyzxyz．二、巧拆常数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．例３设a、b、c为正数且各不相等，求证：cbaaccbba9222.三、巧添项根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也是运用柯西不等式的解题技巧．例4,,abcR求证：32abcbccaab.四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的．例６a、b为非负数，a+b=1，Rxx21,求证：212121))((xxaxbxbxax2例７设,121nnaaaa求证：011111113221aaaaaaaannn例5.若abc，求证：114abbcac.练习题1.(2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数zyx,,满足,12zyx设.2222zyxt(1)求t的最小值；(2)当21t时，求z的取值范围2(2010年浙江省第二次五校联考)已知,,abcR，1abc。ks5u(1)求222149abc的最小值；(2)求证：111332abbcca3(2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,abc满足：1cabcab，求abcbaccab的最大值．4(浙江省镇海中学高考模拟试题)已知,,xyz是正数，且121,xy求22122xxyy的最小值；35(金华十校2009年高考模拟考试)若Rcba,,，求证：1222bacacbcba6(2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,abc为正实数，且3abc．证明：2222()()()4()3acbacbacabc，并求等号成立时,,abc的值．7(浙江省镇海中学高考模拟试题)若0,,1,xyz且1xyyzzx，求证：3232323yzxxyz。8(2010年金华十校高考模拟考试)设正数x，y，z满足1543zyx求xzzyyx111值．9(2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列na的首项135a，13,1,2,.21nnnaana(1)求na的通项公式；(2)证明：对任意的21120,,1,2,;131nnxaxnxx410已知实数,,,abcd满足3abcd,22222365abcd试求a的最值.11求函数4293yxx的最大值.12求函数sincosyaxbx的极值，其中,ab是常数.13已知,,,abcR为常数，当2222xyzR时，求函数,,fxyzaxbycz的最大值与最小值.14已知对于满足等式2233xy的任意数，对,xy恒有2axy，求实数a的取值范围.15设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的半径,证明：22212xyzabcR.16求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的43倍，即22243abcS,其中,,abc为三角形三边长，S为三角形的面积.