柯西不等式课件

柯西不等式求函数的最大值51102yxx例1.22231,49,.xyxy若求的最小值并求最小值点引：的最大值求满足设实数zyxSzyxzyx32,332,,222例2.变式引申:.,94,13222并求最小值点的最小值求若yxyx)61,41(,2194614113232.32,1312.2194,1)32()11)(94(:222222222最小值点为的最小值为得由时取等号即当且仅当由柯西不等式解yxyxyxyxyxyxyxyxyx的最小值。）求函数（）求证：（已知实数例)21,0(,21922;)(10,.3222xxxynmbanbmanm例4.ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。456xyzDFEABCP2152654s解：ABC面积=4715232527215))()((csbsass4715)654(21zyx又2715654zyx而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62)x2+y2+z244225456xyzDFEABCP.,,,,.521122132222121nnnnnxxxxxxxxxxxRxxx求证已知例11111:,1,R.22221212121nxxxxxxxxxx,,xxnnnn求证且设变式1)()1x11111()x1x11()11x(1)111()1(:2212n222111n2n222121212222121nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn证明1111x1x2222121nxxxxnn11111:,1,R.22221212121nxxxxxxxxxx,,xxnnnn求证且设变式.,16a,8,,,,622222的取值范围求满足已知实数例eedcbedcbaedcba5160,01651664464,)8()16(4d)cb(a))(1111()4(a:22222222222222eeeeeeeedcbadcb故即即解（二维形式的柯西不等式）若都是实数，则当且仅当时等号成立．a,b,c,dad=bc22222(a+b)(c+d)(ac+bd)（二维形式的柯西不等式）若都是实数，则当且仅当时等号成立．a,b,c,dad=bc||2222bdacdcba柯西不等式的向量形式设是两个向量,则当且仅当是零向量，或存在k实数使时，等号成立．α,βα=kββ||||||二维形式的三角不等式设那么1122x,y,x,yR,22222211221212(x+y)+(x+y)(x-x)+(y-y)三维形式的三角不等式设那么111222x,y,z,x,y,zR,222222222111222121212(x+y+z)+(x+y+z)(x-x)+(y-y)(z-z)12n12baaa===bbb设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则当且仅当bi=0(i=1,2,3,…,n)或bi≠0(i=1,2,3,…,n)时,等号成立.222112222122221)())((nnnnbabababbbaaa柯西不等式的一般形式211212)(niiiniiniibaba注:简记;积和方不大于方和积1.已知：，,证明：。122ba222nm22bnam2.设x，y，zR，求的最大值。22222zyxzyx3.求函数在上的最大值,其中a，b为正常数．xbxaxfcossin)()2,0(练习：1.2.