5(1)-定积分的概念与性质

1第五章定积分定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的definiteintegral不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想----主要组成部分.思想方法.2第一节定积分的概念与性质定积分问题举例定积分的定义函数的可积性定积分的意义定积分定积分的性质definiteintegral31.曲边梯形的面积求由连续曲线及0)(xfy所围成0,ybxax和直线.A的曲边梯形的面积一、定积分问题举例定积分的概念与性质ab)(xfyOxy?AhabAhxf)(,)()(矩形面积公式为时常数4用矩形面积（五个小矩形）（十个小矩形）思想以直代曲定积分的概念与性质近似代替曲边梯形面积OxyOxy5ab)(xfy四个步骤来求面积A.(1)分割,1210bxxxxxann(2)近似积上对应窄曲边梯形的面表示],[1iiixxA定积分的概念与性质;1iiixxx，小区间],[1iixxOxyix1x1ix1nx],[1iiixx任取一点iiAnixfAiii,2,1,)(6AiniixfA)(lim10(3)求和矩形面积之和为曲边梯形面积A的近似值.(4)取极限，时当0,n取极限,无限细分,定积分的概念与性质iniixf)(1极限值就是曲边梯形的面积:},,max{21nxxxab)(xfyOxyix1x1ix1nxiiA7(1)分割,2101TtttTniistiiitvs)((3)求和iinitvs)(1(4)取极限},,,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值(2)取近似),2,1(ni0令定积分的概念与性质某时刻的速度2.变速直线运动的路程已知速度],,[)(21TTCtvv,0)(tv且求物体在这段时间内所经过的直线距离s.8二、定积分的定义设函数f(x)在[a,b]上有界,定义bxxxxxann1210),,,2,1(,1nixxxiii(1)任意任取,iix),,2,1()(nixfii(2)并作和iinixfS)(1(3)记},,,,max{21nxxx(4)定积分的概念与性质9被积函数被积表达式积分和怎样的分法,也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法,只要当,0时和S总趋于确定的极限I,称极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.定积分的概念与性质iniibaxfIxxf)(limd)(10积分下限积分上限积分变量[a,b]积分区间如果不论对],[ba10的分法及与],[)()1(1baxfSinii的分法及与],[)(lim10baxfIinii定积分与变量记号无关性！定积分是一个数,只依赖于被积函数和积分区间，定积分的概念与性质的取法i有关;注的取法i无关.与积分变量的记号无关.baxxfd)(bafd)((2)ttbafd)(uu11,0)(xfbaAxxfd)(曲边梯形的面积,0)(xfbaxxfd)(曲边梯形面积的负值baxxfd)(1.几何意义2A1A3A定积分的概念与性质三、定积分的意义Oxyab1A2A3A各部分面积的代数和!A12例xxd110242.物理意义21xyoxy11定积分的概念与性质,0)(时当tv从时刻t=a到时刻t=b所经过的路程s.)(tvvbattvd)(作直线运动的物体定积分表示以变速13定理黎曼德国数学家(1826–1866)定积分的概念与性质四、关于函数的可积性,],[)(上连续在设baxf,],[)(上有界在或baxf且只有有限个间断点,上在则],[)(baxf可积.或].,[baRf当函数上在区间],[)(baxf的定积分存在时,上在区间称],[)(baxf可积.黎曼可积,充分条件14解iinixf)(1iinix21例用定义计算由抛物线,2xy定积分的概念与性质和x轴所围成的曲边梯形面积.直线1x,1nxi取,iixnnini121niin1231ni2xy12xxd10yOx6)12)(1(13nnnnxxd102iinix210limnnn121161lim31,等分n分成将]1,0[ni2,1,nixi15对定积分的补充规定,)1(时当babaxxfd)(0,)2(时当babaxxfd)(abxxfd)(定积分的概念与性质五、定积分的性质说明假定定积分都存在,不考虑积分上下限的大小．16证baxxgxfd)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10baxxfd)(baxxgd)((可以推广到有限多个函数和的情况)性质1定积分的概念与性质baxxgxfd)]()([babaxxgxxfd)(d)(17证baxxfkd)(iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10baxxfkd)(性质2定积分的概念与性质线性性质.baxxfkd)(baxxfkd)()(为常数k18例cba若caxxfd)(baxxfd)(baxxfd)(caxxfd)(bccaxxfxxfd)(d)((定积分对于积分区间具有可加性)性质3cbxxfd)(cbxxfd)(定积分的概念与性质假设bcabaxxfd)(axxfd)(bxxfd)(cc补充cba,,的相对位置如何.不论19证0)(xf0)(ifni,,2,10ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10baxxf0d)(性质4定积分的概念与性质baxd1baxdab性质5如果在区间上],[ba,0)(xf则baxxf0d)()(ba20性质5-推论1证),()(xgxf,0)()(xgxf,0d)]()([xxgxfba,0d)(d)(babaxxgxxf定积分的概念与性质如果在区间上],[ba),()(xgxf则babaxxgxxfd)(d)()(ba于是babaxxgxxfd)(d)(21解令xxfxe)(]0,2[x0)(xf0d)(02xxxexxed02xxd02于是xxed20定积分的概念与性质xxd20比较积分值xxed20和xxd20的大小.例22)(ba证|)(|)(|)(|xfxfxf性质5-推论2定积分的概念与性质babaxxfxxfd|)(|d)(babaxxfxxfd|)(|d)(baxdbaxdbaxd23证Mxfm)(bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6定积分的概念与性质mM和设分别是函数上的在],[)(baxf最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba则24解xxf3sin31)(],0[x,1sin03x31sin31413xxxxxd31dsin31d4100303dsin31403xx定积分的概念与性质估计积分.dsin3103的值xx例)(d)()(abMxxfabmba25解xxxfsin)(2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx,0,2,4C定积分的概念与性质估计积分.dsin2/4/的值xxx例)(xf,22)4(fM,2)2(fm4abxxxdsin2/4/42242222126证Mxxfabmbad)(1)(d)()(abMxxfabmba闭区间上连续函数介值定理:性质7(定积分中值定理）定积分的概念与性质)(xf上在],[ba连续,],[ba至少存在一点))((d)(abfxxfba).(ba积分中值公式],[babaxxfabfd)(1)().(ba28积分中值公式的几何解释定积分的概念与性质))((d)(abfxxfba)(ba曲边梯形面积=矩形的面积)(xfyab)(fOxyb平均值公式baxxfabfd)(1)()(ba29例0dsinlimxxxannn求证证由积分中值定理：xxxanndsin)(annnxxxannndsinlimannnsinlim0(a为常数)nnsin定积分的概念与性质)())((d)(baabfxxfba)(nan303.定积分的性质(估值性质、积分中值定理)4.典型问题(1)估计积分值;(2)不计算定积分比较积分大小.定积分的概念与性质六、小结1.定积分的实质:特殊和式的极限.2.定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变.四步曲:分割、近似、求和、取极限.思想方法