24.3.1解直角三角形1

24.3解直角三角形（1）【知识要点】一、如图，在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则sinA=——；cosA=——；tanA=——sinB=——；cosB=——；tanB=——BCAabcabaccbbabcca复习复习二、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）对于cosα，角度越大，函数值越小。【知识要点】问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，（sin75°≈0.97，cosa66°≈0.4）（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？这样的问题怎么解决问题（1）可以归结为：在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8mABBCAsin75sin6sinAABBC所以BC≈6×0.97≈5.8由得ABαC对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数由于4.064.2cosABACaa≈66°因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．在图中的Rt△ABC中，（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？探究ABCα能sinsin6sin75BCABCABAABcoscos6cos75ACAACABAAB90909075ABBA6=75°在图中的Rt△ABC中，（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（cosa66°≈0.4）探究222222262.45.5ABACBCBCABAC2.4coscos0.4666ACAAAAB9090906624ABBAABCα能62.4事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：解直角三角形（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系222cba（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解这个直角三角形6,2BCAC解：326tanACBCA60A30609090AB222ACABABC26例2如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1,tan35°≈0.70,sin35°≈0.57）解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°abBtan6.2870.02035tan20tanBbacbBsin1.3557.02035sin20sinBbcABCabc2035°你还有其他方法求出c吗？例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形。43ADDABC643解：63cos243ACCADAD30CAD因为AD平分∠BAC60,30CABB12,63ABBC在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a=30,b=20;（tan56.3°≈1.5）练习解：根据勾股定理222230201013Cab303tan1.5202aAb56.3A909056.333.7BAABCb=20a=30c在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：sinbBcsin14sin7213.3bcB907218AcosaBccos14cos724.34acB解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函数关系式计算器由锐角求三角函数值由三角函数值求锐角sin,sinabABcccos,cosbaAAcctan,tanabABba归纳小结解直角三角形：由已知元素求未知元素的过程直角三角形中，AB∠A的对边aC∠A的邻边b┌斜边c，解三角形。，°，中，∠△在332=b32=a90=CABCRtA323B32C(图3)（）∵13232333tanAab（）∵3sinAac∴°。caAsinsin323064cab222222232323321332464()[()]×。例2.∴∠A=30°。（2）∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°。解法二：（1）在Rt△ABC中无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。（）∵233tanAab（）∠°∠°39060BA不要计算错误。，但应注意斜边，求出∠求出解法二也可由cAAcaA21sinsin∴∠A=30°说明：解法一：在Rt△ABC中，如图3。例1.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）50°140°ABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°cosDEBDEBDcosDEBDEBDcos505200.64520332.8答：开挖点E离点D332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角【总结】（1）、有关实际应用的问题，解法步骤：①弄清已知条件及要求解的问题。②画图将实际问题转化为数学问题。③寻找解题途径。⑷解、答（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线等辅助线，“化斜为直”，“善于转化”为解直角三角形问题。（3）、解直角三角形的有关问题常通过设未知数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设图形中具有“双重身份”的线段或者是两个三角形联系密切的特殊线段为未知数。作业1：如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.ABC30°地面太阳光线60°30AB的长D作业2：外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为156海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=45°，同时在B点测得∠ABP=60°，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域?