大学物理简谐振动的能量、合成

大学物理1166§3-3简谐振动的能量下面以弹簧振子为例来说明简谐振动的能量。某一时刻t：位移0cosxAt速度0sinvAt振动动能2222011sin22kEmvmAt2201sin2kAt振动势能222011cos22pEkxkAt总能量22221122kpEEEkAmAA振幅反映了振动的强度简谐振动系统机械能守恒！动能和势能相互转化。简谐振动的系统都是保守系统。动能和势能在一个周期内的平均值为2220001111()sin24TTkkEEtdtkAtdtkATT2220001111()cos24TTppEEtdtkAtdtkATT21142kpEEkAE动能和势能在一个周期内的平均值相等，都等于总能量的一半。例3.4：见第一册教材第113页。（不讲）例：光滑水平面上的弹簧振子由质量为M的木块和劲度系数为k的轻弹簧构成。现有一个质量为m，速度为0u的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态。（不讲）（1）试写出谐振子的振动方程；kkmmOOxxxx大学物理1177（2）求出2Ax处系统的动能和势能。解：（1）射入过程，水平方向动量守恒。设射入后子弹和木块的共同速度为0V00muMmV00mVuMm建立坐标系如图，初始条件为00x，00vV谐振系统的圆频率为kMm初相位032振幅2200002vvmuAxkMm振动方程03cos2mukxtMmkMm（2）势能22220112228pmuAEkxkMmOx0tkkMMOO0u大学物理1188动能22222031132888kpmuEEEkAkAkAMmEx：质量为kg10103的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI()328cos(1.0tx的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初相位及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)s52t与s11t两个时刻的相位差；解：(1)0.1m,8Arad/s，214T秒，02/38.0Avm1sm51.21sm2.632Aam2sm(2)0.63NmmFmaJ1016.32122mmvEJ1058.1212EEEkp当pkEE时，有pEE2，即)21(212122kAkx∴m20222Ax(3)32)15(8)(12tt§3-4简谐振动的合成一、两个同向同频简谐振动的合成设质点同时参与两个同方向同频率的谐振动1110cosxAt2220cosxAt质点的合位移12110220coscosxxxAtAt大学物理1199下面我们用旋转矢量法求合位移：0t时刻，两分振动与x轴正方向的夹角分别为10和20，以相同的角速度逆时针转动。两旋转矢量的夹角恒定不变！故合矢量A的模保持不变，并以同样的逆时针转动。合振动是简谐振动！可写成0cosxAt利用几何关系振幅22121220102cos()AAAAA22121220102cos()AAAA2212122cosAAAAAA22AA11AA110022002010AA22AA11AAωωxx1100220002200MPyAOxA大学物理2200初相位0tanyxAA其中110220coscosxAAA110220sinsinyAAA讨论：（1）当20102(0,1,2,)kk时（即两分振动相位相同）221212122AAAAAAA合振幅最大（2）当201021(0,1,2,)kk时（即两分振动相位相反）221212122AAAAAAA合振幅最小合振动的相位与振幅大者相同！同向同频谐振动的合成，在后面的机械波和波动光学经常碰到。例3.5已知两个谐振动的x—t曲线如图所示，它们的频率相同，求它们合振动方程。解：120.05AAm0.1Ts，220T1032，20合振动的振幅120.052AAm初相位054振动方程50.052cos204xt(cm)x(s)t5050.050.1(1)(2)大学物理2211Ex：试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1)cm)373cos(5cm)33cos(521txtx(2)m)652cos(3.0m)62cos(4.021txtx解：(1)∵,233712∴合振幅cm1021AAA(2)∵5()66∴m1.021AAA合06其振动方程为0.1cos(2)m6xt二、多个同向同频简谐振动的合成用旋转矢量合成的图解法处理。Ox0t(1)(2)Ox0t(1)(2)大学物理2222将各旋转矢量依次平移，使它们首尾相接。cosxAt22xyAAAtanyxAA其中1122coscoscosxnnAAAA1122sinsinsinynnAAAA三、两个同向不同频简谐振动的合成拍（了解）为简单起见，设两分振动振幅相等，初相位相同1110cosxAt2120cosxAt质点的合位移12110120coscosxxxAtAt2121102coscos22Att()At0cost若两分振动的频率满足2121，可视为振幅缓慢变化的振动。合振动的特点：xO11AA2A3A23xAyA大学物理2233（1）合振动的频率12122（2）合振幅211()2cos2AtAt在0—2A之间随t周期性变化，时强时弱，不是谐振动！描述的是一个高频振动受到一个低频振动调制的运动。这种振幅时大时小的现象叫“拍”。四、两个相互垂直的简谐振动的合成（了解）为简单起见，设两个振动的频率相同，分别沿x轴和y轴振动：11cosxAt22cosyAt消去参数t，得轨迹方程（椭圆方程）22221212212122cossinxyxyAAAA注：将两个余弦函数展开，再将两式联立，可得212112212112coscossinsin()sinsincossin()xytAAxytAA将上两式平方后相加即可得该式。讨论几种特殊情况：（1）212k时21AyxA线振动2212AAAt20406080100120-2-11212xx大学物理2244（2）2121k时21AyxA线振动2212AAA（3）212时2222121xyAA椭圆2212AAA（4）一般情况下，合振动为斜椭圆。不同频率,但有简单整数比时，合成运动又具有稳定的封闭轨迹，称为李萨如图。