上海市金山区华东师大三附中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文科)试题

-1-俯视图左视图主视图华东师大三附中2014学年第二学期期末考试高二数学（文科）试题时间：120分钟满分：150分一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.201532iiii=__________________.2.在5(31)x的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则ab=．3.若实数xy、满足22000xyxy则22yx的最大值为.4.若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为90的扇形，则这个圆锥的全面积是．5.由若干个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为.6.在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是．7.已知正四棱柱的一条对角线长为22，底面边长为1，则此正四棱柱的表面积为__．8.设D是不等式组2102403xyxyx表示的平面区域，则D中的点(,)Pxy到直线10xy的距离的最大值是.9.设函数21xy的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积__________.10.设不等式组*00()4xynNynxn所表示的平面区域nD的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为,na则2420101()2010aaa.11.边长分别为a、b的矩形，按图中所示虚线剪裁后，[来源:学科网]可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则ba的取值范围是．-2-12.在直三棱柱111ABCABC中，底面ABC为直角三角形，2BAC，11ABACAA.已知Ｇ与Ｅ分别为11AB和1CC的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若GDEF，则线段DF的长度的最小值为.13.正四面体ABCD的表面积为S，其中四个面的中心分别是E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则TS等于___________.14.对于曲线C所在平面上的定点0P，若存在以点0P为顶点的角，使得0APB对于曲线C上的任意两个不同的点BA,恒成立，则称角为曲线C相对于点0P的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点0P的“确界角”．曲线)0(12)0(1:22xxxxyC相对于坐标原点O的“确界角”的大小是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（）A.84B.78C.81D.9616.教室内有一把直尺，无论这把直尺怎样放置，在教室的地面上总能画出一条直线，使这条直线与直尺()A.平行B.垂直C.异面D.相交17.如图，P为正方体1111ABCDABCD的中心，△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）ABCDA1B1C1D1P(1)(2)(3)(4)A.(1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4)D.(2)、(4)18.给出下列四个命题：（1）异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；-3-（2）若直线l上有两点到平面的距离相等，则//l；（3）若直线m与平面内无穷多条直线都垂直，则m；（4）两条异面直线中的一条垂直于平面，则另一条必定不垂直于平面．其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若6AB，8AD，异面直线PB与CD所成的角为arctan2，求此圆柱的体积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图：三棱锥ABCP中，PA底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为3．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥ABCP的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．APBCDOMABCP-4-21．（本题满分14分）如图，在北纬60°线上，有A、B两地，它们分别在东经20°和140°线上，设地球半径为R，求A、B两地的球面距离．22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分。如图，点P为斜三棱柱111CBAABC的侧棱1BB上一点，1BBPM交1AA于点M，1BBPN交1CC于点N．（1）求证：MNCC1；（2）在任意DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．AA1B1BC1CMNP-5-23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点(,)Pxy（其中0x）到定点(1,0)F的距离比它到y轴的距离大1．[来源:Z+xx+k.Com]（1）求曲线C的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F的直线l与曲线C相交于不同的AB、两点，求OAOB的值；（3）若曲线C上不同的两点M、N满足0OMMN，求ON的取值范围．[来源:学科网]-6-华东师大三附中2014学年第二学期期末考试高二数学（文科）试题答案一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.12.13.44.545.56.137.6428.9229.410.301811.1(,)212.5513.1914.512二．15.B16.B17.C18.C三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．解：设圆柱下底面圆O的半径为r，连AC，由矩形ABCD内接于圆O，可知AC是圆O的直径，（2分）于是2226810rAC，得5r，（4分）由AB∥CD，可知PBA就是异面直线PB与CD所成的角，即arctan2PBA，故tan2PBA（7分）在直角三角形PAB中，tan12PAABPBA，（9分）故圆柱的体积22512300VrPA（12分）20．（1）因为PA底面ABC，PB与底面ABC所成的角为3所以3PBA………2分因为2AB，所以32PB（4分）2324433131PASVABCABCP（7分）（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则ACMN//所以PMN为异面直线PM与AC所成的角（9）分计算可得：13PN，1MN，15PM（11）分101515213151cosPMN（13分）APBCDOMABCP-7-异面直线PM与AC所成的角为1015arccos（14分）21．（本题满分14分）解：设纬线圈半径为r，据题意，∠AO1B=1400-200=1200.（2分）[来源:Z.xx.k.Com]00111coscos60(60)2rROAORROAOAOC，（5分）在△AO1B中，22220332cos120332ABrrrrABrR（8分）又在ΔAOB中，133sin2arcsin244AOBAOB（11分）∴A、B两地的球面距离32arcsin4ABR（14分）[来源:Z§xx§k.Com]22．(1)证：MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC111111,,//平面；（6分）(2)解：在斜三棱柱111CBAABC中，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS，其中为平面BBCC11与平面AACC11所组成的二面角.（10分）,1PMNCC平面上述的二面角为MNP，在PMN中，2222cosPMPNMNPNMNMNPMNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPMcos)()(211111222222，由于111111111,,BBPMSCCMNSCCPNSAABBAACCBBCC，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS.（16分）到定点F(1,0)的距离23．（1）依题意知，动点P等于P到直线1x的距离，曲线C是以原点为顶点，F(1,0)为焦点的抛物线∵12p∴2p∴曲线C方程是24yx（4分）AA1B1BC1CMNP-8-（2）当l平行于y轴时，其方程为1x，由214xyx解得(1,2)A、(1,2)B此时=14=3OAOB（6分）当l不平行于y轴时，设其斜率为k，则由2(1)4ykxyx得2222(24)0kxkxk设1122(,),(,)AxyBxy，则有121xx，212224+kxxk（8分）∴12121212==(1)(1)OAOBxxyyxxkxkx2221212(1)()kxxkxxk2222224=1+143kkkkk（10分）（3）设221212(,),(,)44yyMyNy∴222121121(,),(,)44yyyOMyMNyy∵0OMMN∴0)(16)(121212221yyyyyy∵0,121yyy，化简得)16(112yyy（12分）∴6432256232256212122yyy（14分）当且仅当4,16,2561212121yyyy时等号成立∵22222222221||()(8)646444yONyyy，又（16分）∴当222min64,8||85||yyONON，，故的取值范围是),58[（18分）