角平分线的应用

角平分线的应用一．定义、定理1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。2..角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。3.逆定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。二．基本结论1.三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB∠P=90°+21∠A，点P在∠BAC的角平分线上（2）如图PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角∠P=90°-21∠A点P在∠BAC的角平分线上（3）如图PB平分∠ABC、PC平分∠ACB的外角∠P=21∠A点P在∠BAC外角的角平分线上应用：如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，连接AP，若∠APC=40°，则∠NAP=°2.三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点到三角形三边的距离相等。已知：△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，过O的直线EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，若∠BOC=135°，EO：OF：OD=20:15:12，△ABC的面积为216，则OD=3.三角形内（外）角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。（1）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线AB：AC=BD：DC（2）AD是△ABC外角∠BAP的角平分线AB：AC=BD：DC应用：在△ABC中，∠A=2∠B，AC=3.5，BC=5.5，D为射线BA上一点，D到直线AC，BC的距离相等，则AD=1.作双高（1）构造全等（2）对角互补形四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线∠3+∠4=180°DA=DC应用：在△ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，∠A=60°，求证：OD=OEDEOCBA2.作平行线（1）平分平行等腰（2）构造A型、X型基本应用：1.矩ABCD中，F为BC中点，∠1=∠2AE=AB+EC2.在正方形ABCD中，∠1=∠2AE=BE+DF练习：在△ABC中，AD是中线，∠1=∠2，CE//AB，若∠BAC=120°，AB=12，AC=8求EC的长度21EBCADF3.截长补短构全等应用：1、在△ABC中，AD是角平分线，2∠C=∠B，AC-AB=BD4.平分线+高线,延长⇒等腰DABC21EDBCAEFDCAB基本型1.在RT△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是角平分线，AE⊥BD于EBD=2AE角平分线应用1.应用：如图，在△ABC中BE、CD分别为△ABC的角平分线，AD⊥CD，AE⊥BE，连结DE,若AB=8，AC=5，∠BAC=60°，则DE的长为________.60°EDBAC2.如图，在等边△ABC中,AB=8,D为AB中点,点E在BC上,点F在AC上,且AF=3CF,DE平分∠BDF,则BE=3.如图,已知菱形ABCD,点E为AD边上一点,连接CE,把△CDE沿着CE翻折,CD的对应边所在直线交直线AB于点F,若AF=2,AE=3,CF=4,则CD=_______________EDBCAFBADCE4.如图，在等边△ABC中,AB=4,AD⊥BC于点D，点P在AB的延长线上，点Q在AB上，∠PDQ=60°，QD延长线交AC延长线于点R（PBCR），若PR=7，则PQ=60°QDRCABP5.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，∠EDC=45°.(1)求证：∠AED+21∠ABC=90°(2)过点E作DE的垂线，交DC于M，交BA延长线于N.若NE：MC=2：3，探究BD与BC的数量关系.6.已知;在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E为BC边上的一点BE=AC。(1)求证：∠BEA+∠DAC=180°；(2)过点C作CH⊥AB与点H，分别交BE、AD与点M、N，过点E作EF∥AC，交CH于点Q，图1EDBCA图2QNHMFEDBCA若BE=EF+DF，BE:EF=3:2,请你探究线段MH与ME之间的数量关系，并证明你的结论。