三角函数图象与性质习题课

2.3.1平面向量基本定理及坐标表示回顾：1.向量共线定理：向量与非零向量共线，当且仅当有唯ba一的一个实数，使=.ba0当时，与同向，且是的倍；baba0当时，与反向，且是的倍；baba00.0当时，，且bb2.向量的加法：abOBCAabab平行四边形法则OAB三角形法则abba12思考：一个平面内的两个不共线的向量,与该平面内的任一向量之间的关系.eea1e2ea如下图，由向量的运算性质可知，存在实数12,12,OMON12ee,OCOMON使得，由于所以1212a=ee.CMAONB1122+这就是说平面内任一向量都可以表示成的形式.aee平面向量基本定理：如果,12eea12,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使1212a=ee我们把不共线的向量,12ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.特别的，若0a，则有且只有120，使得12;120=ee若a与1()2ee共线，则210(0),使得12.12=aee向量的夹角:a,bOAOB=a,=b已知两个非零向量，作，则00(0180)AOB叫做向量ab与的夹角.OBAab当00时，a与b同向；当0180时，a与b反向；当090时，a与b垂直，记作ab.-2.53.1212例1：已知向量，，求作向量eeee1e2eOBCA2.51e32e122.5,3;OOAOB作法：1.任取一点，作ee2.OACBOC作平行四边形，就是求作的向量.ABCD2ABCBC例：如图，D是中边的中点，,,.ABACAD试用,表示abab课堂练习：121.,设是同一平面内的两个向量，则有（）ee12A.,一定平行ee12,B.的模相等ee12RC.同一平面内的任一向量都有（，）aaee1212,RD.若不共线，则同一平面内任一向量都有（，）eeaaeeD物理背景：光滑斜面上一个木块受到重力1F的作用，如图，它的效果等价于G和2F的合力效果，即,12G=FF12G=FF叫做把重力G分解.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.正交分解时向量分解中常见的一种情形.思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角坐标平面内的每一个向量该如何表示呢？导入：光滑斜面上一个木块受到重力1F的作用，如图，它的效果等价于G和2F的合力效果，即,12G=FF12G=FF叫做把重力G分解.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.正交分解时向量分解中常见的一种情形.思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角坐标平面内的每一个向量该如何表示呢？思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设，填空：（1）_____,||______,||______;OCij（2）若用来表示，则：,ij,OCOD________,_________.OCOD34ij57ij115（3）向量能否由表示出来？可以的话，如何表示？CD,ij23CDijABCDoxy3547,OAOBijji平面向量的坐标表示ABCDoxyaijxya=x+y对于该平面内的任一向量,有且只有一对实数,，可使aijxy如图，，是分别与轴，轴方向相同的单位向量，若以，为基底，则ijijxyxy这里，我们把(,)叫做向量的坐标，记作(,)aa=xxyy其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.aaOxyAijaxy(,)xya+OAxyaij在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一组有序实数对唯一表示.例1如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标。ijabcdAA1A2解：如图可知1223AAAAaij(2,3).所以a同理，23(2,3);23(2,3);23(2,3).bijcijdij总结：1.正交分解的概念2.向量的坐标标示