角平分线模型的构造

第二章角平分线模型的构造技巧提炼：与角平分线有关的常用辅助线作业，即角平分线的四大基本模型。已知P是∠MON平分线上一点，（1）若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”。（2）若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。（3）若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”。（4）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”。例题精讲例1（1）如图a，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm。（2）如图b，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC。例2如图a在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，（1）求证：CE=CF。（2）将图a中的△ADE沿AB向右平移到△A＇D＇E＇的位置，使点E’落在BC边上，其他条件不变，如图b，试猜想:BE’与CF有怎样的数量有关系？请证明你的结论。例3阅读下列学习材料：如图a，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB=OA，连接BC，易证△AOC≌△OBC。请根据上面的学习材料，解答下列各题：（1）如图c，在△ABC中，AD中△BAC的外角平分线，P是AD上异于A点的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由。（2）如图d，AD中△BAC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。例4如图，已知等腰直角△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE。例5（1）如图a，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证DE∥BC，DE=)(21ACBCAB；（2）如图b，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变；（3）如图c，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，则在图b，图c两种情况下，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。变式练习：如图，在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE。例6如图a，AB=AC，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，问：（1）图a中有几个等腰三角形？（2）过点D点作EF∥BC，如图b，交AB于点E，交AC于点F，图中又增加了几个等腰三角形？（3）如图c，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？（4）如图d,BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由。（5）如图e，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？例7如图，已知在△ABC中，AC=BC，∠C=90°,AD平分∠CAB，求证：AB=AC+CD。变式练习：1、已知△ABC中，AC=AC，∠A=108°,BD平分∠ABC，求证：BC=AB+CD。2、已知△ABC中，AC=AC，∠A=100°,BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD。例8如图a，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图b，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图c，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得出结论是否依然成立？若成立请证明，若不成立，请说明理由。牛刀小试1、（1）如图a，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为。（2）如图b，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，FD∥AC，如果BC=6，求△DEF的周长。2、已知：∠BAD=∠CAD，ABAC，CD⊥AD于点D，H是BC的中点。求证：)(21ACABDH。3、已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°,BC=CD。求证：AC平分∠BAD。4、△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°,求∠CAP的度数。5、在四边形中，BCAB，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°。6、如图a，BP平分∠MBN，点D在射线BP上，∠ADC的两边分别交射线BM、BN于A、C两点，且∠ADC+∠MBN=180°。（1）猜想AD与DC之间的数量关系，直接写出你的结论。（2）图b是∠ADC绕点D旋转一定角度得到的，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。ab7、（1）如图a，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，则AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为。（2）如图b，若将（1）中条件“在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=45°”改为“在△ABC中，∠C=2∠B”请问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的猜想。8、在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。（1）在图a中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图b)，直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图c）,求∠BDG的度数。9、已知，在△ODC中，∠D=90°，EC是∠DCO的角平分线，且OE⊥CE，过点E作EF⊥OC交OC于点F，猜想：线段EF与OD之间的数量关系，并证明。10、在四边形ABDE中，C是BD边的中点。（1）如图a，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图b，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图c，BD=8，AB=2，DE=8，∠ACE=135°，则线段AE长度的最大值是。（直接写出答案）abc