导数在研究函数中的应用(学案教师版)

第1页共25页导数在研究函数中的应用【典型例题---夯实基础】（一）函数的单调性例1．(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．解：（1）2()321fxxax当23a≤时，0≤，()0fx≥()fx在R上递增当23a，()0fx求得两根为233aax即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，233aa，递增（2）2232333133aaaa≤≥，且23a解得：74a≥变式1:变式2:第2页共25页变式3:变式4:例2.第3页共25页例3.例4.（二）函数的图像与极值例1.例2.第4页共25页例3.(2008江西文)已知函数4322411()(0)43fxxaxaxaa（1）求函数()yfx的单调区间；（2）若函数()yfx的图像与直线1y恰有两个交点，求a的取值范围．解：（1）因为令()0fx得1232,0,xaxxa由0a时，()fx在()0fx根的左右的符号如下表所示x(,2)a2a(2,0)a0(0,)aa(,)a()fx000()fx极小值极大值极小值所以()fx的递增区间为(2,0)(,)aa与，()fx的递减区间为(2)(0)aa，与，（2）由（1）得到45()(2)3fxfaa极小值，47()()12fxfaa极小值4()(0)fxfa极大值要使()fx的图像与直线1y恰有两个交点，只要44571312aa或41a，即4127a或01a.例4.第5页共25页例5.(2011安徽)设()1xefxax，其中a为正实数（Ⅰ）当a43时，求()fx的极值点；（Ⅱ）若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围。解：对)(xf求导得.)1(1)(222axaxaxexfx①（I）当34a，若.21,23,0384,0)(212xxxxxf解得则所以,231x是极小值点,212x是极大值点.（II）若)(xf为R上的单调函数，则)(xf在R上不变号，结合①与条件a0，知0122axax在R上恒成立，因此,0)1(4442aaaa由此并结合0a，知.10a（三）函数的最值例1.例2.（2008浙江理）已知a是实数，函数()()fxxxa。（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设)(ag为()fx在区间2,0上的最小值。（i）写出)(ag的表达式；（ii）求a的取值范围，使得2)(6ag。（Ⅰ）解：函数的定义域为[0)，，3()22xaxafxxxx（0x）．若0a≤，则()0fx，()fx有单调递增区间[0)，．若0a，令()0fx，得3ax，第6页共25页当03ax时，()0fx，当3ax时，()0fx．()fx有单调递减区间03a，，单调递增区间3a，．（Ⅱ）解：（i）若0a≤，()fx在[02]，上单调递增，所以()(0)0gaf．若06a，()fx在03a，上单调递减，在23a，上单调递增，所以2()333aaagaf．若6a≥，()fx在[02]，上单调递减，所以()(2)2(2)gafa．综上所述，002()06332(2)6aaagaaaa，≤，，，，≥．（ii）令6()2ga≤≤．若0a≤，无解．若06a，解得36a≤．若6a≥，解得6232a≤≤．故a的取值范围为3232a≤≤．例3.设axxxxf22131)(23.（1）若)(xf在),32(上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当20a时，)(xf在]4,1[上的最小值为316，求)(xf在该区间上的最大值.【解析】（1）)(xf在),32(上存在单调递增区间，即存在某个子区间),32(),(nm使得0)('xf.由axaxxxf241)21(2)(22'，)('xf在区间),32[上单调递减，则只需0)32('f即可。由0292)32('af解得91a，所以，当91a时，)(xf在),32(上存在单调递增区间.（2）令0)('xf，得两根28111ax，28111ax，28112ax.所以)(xf在),(1x，),(2x上单调递减，在),(21xx上单调递增当20a时，有4121xx，所以)(xf在]4,1[上的最大值为)(2xf又06227)1()4(aff，即)1()4(ff[来源:学.科.网Z.X.X.K]所以)(xf在]4,1[上的最小值为3163408)4(af，得1a，22x，从而)(xf在]4,1[上的最大值为310)2(f.第7页共25页【高考真题---能力提升】专题一：导数与函数的单调性、极值、最值例1、（2010全国Ⅰ）已知函数42()32(31)4fxaxaxx（I）当16a时，求()fx的极值;（II）若()fx在1,1上是增函数，求a的取值范围解：（Ⅰ）241331fxxaxax当16a时，22(2)(1)fxxx，()fx在(,2)内单调减，在2（，）内单调增，在2x时，()fx有极小值.所以(2)12f是()fx的极小值.例2.（2009辽宁卷理）已知函数f(x)=21x2－ax+(a－1)lnx，1a。（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明：若5a，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有1212()()1fxfxxx。解：(1)()fx的定义域为(0,)。2'11(1)(1)()axaxaxxafxxaxxx（i）若11a即2a,则2'(1)()xfxx故()fx在(0,)单调增加。(ii)若11a,而1a,故12a,则当(1,1)xa时，'()0fx;当(0,1)xa及(1,)x时，'()0fx故()fx在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加。第8页共25页(iii)若11a,即2a,同理可得()fx在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加.(II)考虑函数()()gxfxx21(1)ln2xaxaxx则211()(1)2(1)1(11)aagxxaxaaxxg由于1a5,故()0gx，即g(x)在(4,+∞)单调增加，从而当120xx时有12()()0gxgx，即1212()()0fxfxxx，故1212()()1fxfxxx，当120xx时，有12211221()()()()1fxfxfxfxxxxx例3.（2010山东）已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.第9页共25页（Ⅱ）当14a时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x，有11f(x)f(1)=-2，又已知存在21,2x，使12()()fxgx，所以21()2gx，21,2x，即存在1,2x，使21()242gxxbx，即2922bxx，即922bxx1117[,]24，所以1122b，解得114b，即实数b取值范围是11[,)4。例4.（08安徽理）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1.（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln2()10xafxxxx，，故()()2ln20Fxxfxxxax，，于是22()10xFxxxx，，列表如下：x(02)，2(2)，∞()Fx0()Fx极小值(2)F故知()Fx在(02)，内是减函数，在(2)，∞内是增函数，所以，在2x处取得极小值(2)22ln22Fa．（Ⅱ）证明：由0a≥知，()Fx的极小值(2)22ln220Fa．于是由上表知，对一切(0)x，∞，恒有()()0Fxxfx．从而当0x时，恒有()0fx，故()fx在(0)，∞内单调增加．所以当1x时，()(1)0fxf，即21ln2ln0xxax．故当1x时，恒有2ln2ln1xxax．例5.（09海南理）设函数2()ln()fxxax（I）若当1x时，()fx取得极值，求a的值，并讨论()fx的单调性；（II）若()fx存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2．解：（Ⅰ）1()2fxxxa，依题意有(1)0f，故32a．从而2231(21)(1)()3322xxxxfxxx．()fx的定义域为32，∞，当312x时，()0fx；第10页共25页当112x时，()0fx；当12x时，()0fx．从而，()fx分别在区间31122，，，∞单调增加，在区间112，单调减少．（Ⅱ）()fx的定义域为()a，∞，2221()xaxfxxa．方程22210xax的判别式248a．（ⅰ）若0，即22a，在()fx的定义域内()0fx，故()fx的极值．（ⅱ）若0，则2a或2a．若2a，(2)x，∞，2(21)()2xfxx．当22x时，()0fx，当22222x，，∞时，()0fx，所以()fx无极值．若2a，(2)x，∞，2(21)()02xfxx，()fx也无极值．（ⅲ）若0，即2a或2a，则22210xax有两个不同的实根2122aax，2222aax．当2a时，12xaxa，，从而()fx有()fx的定义域内没有零点，故()fx无极当2a时，1xa，2xa，()fx在()fx的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()fx在12xxxx，取得极值．综上，()fx存在极值时，a的取值范围为(2)，∞．()fx的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln11ln2ln22efxfxxaxxaxa．例6.（2009湖南卷文）已知函数32()fxxbxcx的导函数的图象关于直线x=2对称.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若()fx在xt处取得最小值，记此极小值为()gt，求()gt值域。解:（Ⅰ）2()32fxxbxc.因为函数()fx的图象关于直线x=2对称，所以226b，于是6.b（Ⅱ）由（Ⅰ）知，32()6fxxxcx，22()3123(2)12fxxxcxc.（ⅰ）当c12时，()0fx，此时()fx无极值。（ii）当c12时，()0fx有两个互异实根1x,2x.不妨设