导数复合函数求导法则(非常实用)

导数的四则运算法则(复合函数求导法则)例1．已知可导函数y=f(u)，且u=ax+b(a，b为常数，a≠0)，求.dydx解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分别有改变量△u，△y，由yyuxux得000limlimlimxuxyyuxux而0lim'()xuuxax所以[()]'udyafudx再将u=ax+b代入上式便得到dydx例2．求下列函数的导数（1）5)32(xy解：（1）y=(2x+3)5，令u=2x+3，则y=u5，所以554[(53)]'5()'55uxuu=25(5x+3)4（2）)1ln(2xy解：（2）y=ln(x2+1)令u=x2+1，则y=lnu，所以y’=·(2x)1u221xx（3）32xey解：y=e－2x－3令u=－2x－3，则y=eu，所以y’=eu·(－2)=－2e－2x－3.（4）sin(2)3yx解：令u=2x+3则y=sinu'[sin(2)]'2(sin)'3uyxu2cos2cos(2)3ux例3．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1，1),且在点(2，－1)处与直线y=x－3相切，求a，b，c的值.解：函数y=ax2+bx+c的导数y’=2ax+b，由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f’(2)=1，142141abcabcab解得3119abc练习题1．函数y=(5x－4)3的导数是（）（A）y’＝3(5x－4)2（B）y’＝9(5x－4)2（C）y’＝15(5x－4)2（D）y’＝12(5x－4)2C2．函数y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数是（）（A）y’=Asin(ωx+φ)（B）y’=－Asin(ωx+φ)（C）y’=Aωcos(ωx+φ)（D）y’=－Aωsin(ωx+φ)D3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（）（A）y’=cos(x2+1)－sin3x（B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x（C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x（D）y’=cos(x2+1)+sin3xB4．函数y=(1+cosx)3是由两个函数复合而成．y=u3,u=1+cosx5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方程是.y=16．求的导数32yaxbxc2233221'()(2)3(2)3()yaxbxxaxbaxbaxbxcaxbxc7．求证：可导的奇函数f(x)的导函数f’(x)是偶函数．证明：∵f(x)是奇函数，∴对f(x)定义域D内任一个x，有－x∈D,且有f(－x)=－f(x)．分别对上式左、右两边求导：[f(－x)]’=f’(－x)·(－x)’=－f’(－x)，[－f(x)]’=－f’(x)，∴－f’(－x)=－f’(x)，即f’(－x)=f’(x)，∴f’(x)是偶函数．