2020年1月房山期末数学

1/16房山区2020届高三第一学期期末数学本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合12Axx≤≤，0,1,2,3B，则AB（A）0,1（B）1,0,1（C）0,1,2（D）1,0,1,2（2）已知复数i2iz，则z的虚部为（A）13（B）23（C）13（D）23（3）等差数列{}na中，若1476aaa，nS为{}na的前n项和，则7S（A）28（B）21（C）14（D）7（4）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为（A）55（B）80（C）90（D）1102/16俯视图侧（左）视图正（主）视图11122（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）23（B）43（C）2（D）4（6）若点5π5π(cos,sin)66M在角的终边上，则tan2（7）已知双曲线C的方程为2214yx，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的取值范围是（A）(2,2)（B）11(,)22（C）(,2)(2,)（D）11(,)(,)22（8）设a，b均为单位向量，则“a与b夹角为π3”是“||3ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）如图，在正方体1111ABCDABCD中，M为棱AB的中点，动点P在平面11BCCB及其边界上运动，总有1APDM，则动点P的轨迹为（A）33（B）33（C）3（D）3（A）两个点（B）线段（C）圆的一部分（D）抛物线的一部分MD1C1B1A1DCBA3/16（10）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分表2某队模拟成绩明细姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.31.2411.8乙12.61.311.4丙12.91.2611.7丁13.11.2211.6根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（11）已知点(2,0)M，(0,2)N，以线段MN为直径的圆的方程为___________．（12）若函数()(1)()fxxxa是偶函数，则(2)f___________．（13）已知数列{}na满足1nnaa，且其前n项和nS满足1nnSS，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式na__________．（14）已知π()cos(2)(0)2+fxx，若()fx的最小正周期为___________，若π()()12≤fxf对任意的实数x都成立，则____________.（15）已知函数2,1,()2,1.≤xxxfxax①当1a时，函数()fx的值域是__________；②若函数()fx的图象与直线1y只有一个公共点，则实数a的取值范围是__________．（16）已知矩形ABCD中2AB，1AD，当每个(1,2,3,4,5,6)ii取遍1时，123456||ABBCCDDAACBD的最小值是___________，最大值是___________．4/16三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（17）（本小题13分）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，33AB，3CD，33sin14DBC，3C.（Ⅰ）求sinBDC的值；（Ⅱ）求BD，AD的值.DCBA5/16（18）（本小题13分）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：A：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2；B：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7，53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7；（Ⅰ）从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；（Ⅱ）从B品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．6/16（19）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，△PAD为等边三角形，//ADBC，22ADCDBC，E，F分别为棱PD，PB的中点．（Ⅰ）求证：AE平面PCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点G，使得//DG平面AEF？若存在，求PGPC的值，若不存在，说明理由．PFEDCBA7/16（20）（本小题14分）已知椭圆E：22221(0)xyabab的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2)．（Ⅰ）求椭圆的方程以及离心率；（Ⅱ）若直线ykxm与椭圆E相切于点P，与直线4x相交于点Q．在x轴是否存在定点M，使MPMQ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．E8/16（21）（本小题13分）已知函数()(21)ln1fxxxx.（Ⅰ）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求证：()1fx.9/16（22）（本小题13分）设n为给定的不小于5的正整数，考察n个不同的正整数1a，2a，，na构成的集合12{,,,}nPaaa，若集合P的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合P为“差异集合”．（Ⅰ）分别判断集合{1,3,8,13,23}A，集合{1,2,4,8,16}B是否是“差异集合”；（只需写出结论）（Ⅱ）设集合12{,,,}nPaaa是“差异集合”，记12(1,2,,)iiibain，求证：数列{}ib的前k项和0kD≥(1,2,,)kn；（Ⅲ）设集合12{,,,}nPaaa是“差异集合”，求12111naaa的最大值．10/162020北京房山高三（上）期末数学参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分）（11）22(1)(1)2xy（12）3（13）11(1)()2n或1n（答案不唯一）（14）；6（15）(,1]；(1,1]（16）0；217三、解答题（共6小题，共80分）（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）∵33sin14DBC，22sincos1,02DBCDBCDBC∴13cos14DBC在△BDC中，,3=CDBCCBDC∴sinsin()BDCDBCCsincoscossinDBCCDBCC331133431421427（Ⅱ）在△BDC中，由正弦定理得sinsinCDBDDBCC，即3333142BD解得7BD∵2ABDDBC，33sin14DBC，题号12345678910答案CBCDADACBB11/16∴cosABD3314在△ABD中，33AB，根据余弦定理，2222cosADABBDABBDABD2233(33)723374914解得7AD（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，设“所取两个数据都不低于55”为事件A，则11411()==2020100PA（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,22016422060(0)==95CCPXC，1116422032(1)==95CCPXC，021642203(2)==95CCPXC，X的分布列为X012P12193295395期望123232()0121995955EX（Ⅲ）如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由．如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由．（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为CD平面PAD，AD平面PAD，AE平面PAD所以CDAD，CDAE．12/16又因为△PAD为等边三角形，E为PD的中点，所以PDAE．所以AE平面PCD．（Ⅱ）取AD的中点O，连结,OPOB，则易知//OBCD，OBAD，OBOP．因为△PAD为等边三角形，所以OPAD．以O为原点，以OAOBOP、、所在直线分别为xyz、、轴如图建系，133(1,0,0),(,0,),(0,1,),(0,2,0)222AEFB33(,0,)22AE，1(,1,0)2EF设平面AEF的法向量(,,)nxyz，则：00nAEnEF，即33022102xzxy，令2x，得平面AEF的一个法向量(2,1,23)n易知平面PAD的一个法向量为(0,2,0)OB217cos,1724112OBnOBnOBn所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为1717．（Ⅲ）假设棱PC上存在点G，使得//DG平面AEF，且设,0,1PGPC，则PGPC，(0,03),(1,2,0),(1,0,0)PCD，(1,2,3)PC，则(,2,33)G(1,2,33)DG要使得//DG平面AEF，则222660DGn，得45，所以线段PC上存在点G，使得//DG平面AEF，45PGPC．（20）（本小题14分）（Ⅰ）由已知得，2c，2b，2228abczyxOABCDEFP13/16椭圆的方程为22184xy离心率为22cea（Ⅱ）在x轴存在定点M，M为(20)，使MPMQ证明：设直线方程为ykxm代入22184xy得222()8xkxm，化简得222(21)4280kxkmxm由222(4)4(21)(28)0kmkm，得22840km，2284mk，22821kmkxkm设00(,)Pxy，则08kxm，2200884kmkykxmkmmmm，则84(,)kPmm设1(4,)Qy，则14ykm，则(4,4)Qkm001(2,)(2,)MPMQxyy0012(2)xyy842(2)(4)kkmmm1644(4)0kkmmm所以在x轴存在定点20，M使