高等数学课件(导数、微分)详细

一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题0tt,0时刻的瞬时速度求tt如图,,0tt的时刻取一邻近于,t运动时间tsv平均速度00ttss).(20ttg,0时当tt取极限得2t)(tlimv00gtt瞬时速度.0gt2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放T0xxoxy)(xfyCNM如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx二、导数的定义,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000,)(00xxxxdxxdfdxdy或即.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x.)(,)(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy★★关于导数的说明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或注意:.)()(.100xxxfxf★播放2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.★2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.★如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.★.,),(),()(000可导性的讨论在点设函数xxxxxxxxfxxfxxfx)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)(0存在xf★则)(xf在点0x可导，,)(0存在xfxxfxxfx)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)()(00axfxf且.)(0axf且三、由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即例2.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.22例3.)(的导数为正整数求函数nxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx)(x例如,12121x.21x)(1x11)1(x.12x例4.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即.)(xxee例5.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0.log1)(logexxaa即.1)(lnxxxxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10.log1exa例6.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy四、导数的几何意义oxy)(xfyT0xM)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy例7.,)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即五、可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证,)(0可导在点设函数xxf)(lim00xfxyx)(0xfxyxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf)0(0x连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数xfxxfxfxfxy2xy0xy例如,,0,0,)(2xxxxxf.)(0,0的角点为处不可导在xfxx注意:该定理的逆定理不成立.★31xyxy01)(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数xxfxxfxxfxyxxfxx例如,,1)(3xxf.1处不可导在x.,)()(.30点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数xxf,0,00,1sin)(xxxxxf例如,.0处不可导在x011/π－1/πxy.)()(,,)(.4000不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若xfxxxfxyoxy0xo)(xfy)(xfy例8.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性在讨论函数xxxxxxf解,1sin是有界函数x01sinlim0xxx.0)(处连续在xxf处有但在0xxxxxy001sin)0(x1sin.11,0之间振荡而极限不存在和在时当xyx.0)(处不可导在xxf0)(lim)0(0xffx六、小结1.导数的实质:增量比的极限;2.axf)(0)(0xf;)(0axf3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考题函数)(xf在某点0x处的导数)(0xf与导函数)(xf有什么区别与联系？思考题解答由导数的定义知，)(0xf是一个具体的数值，)(xf是由于)(xf在某区间I上每一点都可导而定义在I上的一个新函数，即Ix，有唯一值)(xf与之对应，所以两者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两者的联系是：在某点0x处的导数)(0xf即是导函数)(xf在0x处的函数值．一、填空题：1、设)(xf在0xx处可导，即)(0xf存在，则_________)()(lim000xxfxxfx,_________)()(lim000xxfxxfx.2、已知物体的运动规律为2ts(米)，则该物体在2t秒时的速度为_______.3、设321)(xxy,221)(xxy,53223)(xxxxy,则它们的导数分别为dxdy1=___________________，dxdy2=_____________，dxdy3=_____________.练习题4、设2)(xxf,则)(xff________________；)(xff_________________.5、曲线xey在点)1,0(处的切线方程为__________________.二、在下列各题中均假定)(0xf存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出A表示什么？1、Axxxfxfxx00)()(lim0；2、Ahhfh)(lim0，其中)0(0)0(ff且存在；3、Ahhxfhxfh)()(lim000.三、证明：若)(xf为偶函数且)0(f存在，则0)0(f.四、设函数0,00,1sin)(xxxxxfk问k满足什么条件，)(xf在0x处(1)连续；（2）可导；（3）导数连续.五、设函数1,1,)(2xbaxxxxf,为了使函数)(xf在1x处连续且可导，ba,应取什么值.六、已知0,0,sin)(xxxxxf,求)(xf.一、1、)(0xf；2、)(0xf；3、6533161,2,32xxx；3、24x,22x；5、01yx.二、1、)(0xf；2、)0(f；3、)(20xf.四、(1)当0k时,)(xf在0x处连续；(2)当1k时,)(xf在0x处可导,且0)0(f；(3)当2k及0x时,)(xf在0x处连续.五、1,2ba.六、0,10,cos)(xxxxf..练习题答案一、和、差、积、商的求导法则定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证(3)),0)((,)()()(xvxvxuxf设hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0证(1)、(2)略.hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()]()()[()()]()([lim0)()()()()()()()(lim0xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh2)]([)()()()(xvxvxuxvxu.)(处可导在xxf推论;)(])([)1(11niiniixfxf);(])([)2(xfCxCf;)()()()()()()()(])([)3(1121211ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf二、例题分析例1.sin223的导数求xxxy解23xyx4例2.ln2sin的导数求xxy解xxxylncossin