高等数学重难点

1高等数学重难点第一章函数极限连续一、基本要求1.深刻理解函数的定义，会求简单函数的定义域，会用函数的对应法则求函数值与复合函数，了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系式，了解隐函数和反函数的概念，了解函数的有界性单调性、奇偶性、周期性。2.理解数列极限的“N”定义和几何意义，知道收敛数列极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，会用极限存在二法则（夹逼、单调有界）。理解函数极限、左右极限的“X”定义和“”定义，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限存在二准则，掌握利用两个重要极限求函数极限的方法。3.理解无穷小与无穷大的概念、关系和运算，知道无穷小的比较，掌握利用等价无穷小求极限和近似计算的方法。4.理解函数连续和左右连续的概念，了解连续函数和差积商、复合和初等函数的连续性，会判断间断点类型，理解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。二、难点复合函数复合过程的分析，利用两个重要极限（1)()(sinlimxx、exx)(1))(1lim((0)(limx)）和等价无穷小代换求函数极限，函数间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的应用。三、重点与注记函数的定义及函数的简单性态，复合函数的概念和复合函数定义域的求法，极限的概念和性质，两个重要极限，函数极限的求法，无穷小的概念和无穷小的比较，函数的连续的概念，初等函数的连续性，间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的性质及应用。１、函数概念的核心是函数的两要素，只有当其定义域和对应法则完全相同时，两个函数才表示同一个函数。根据实际问题建立的函数，其定义域是使自变量具有实际意义的实数集合；由解析式表示的函数，其定义域是使运算有定义的实数集合。2、在讨论函数奇偶性时一定要注意它们对函数定义域的要求。函数的奇偶性是相对于对称区间而说的，若函数的定义域不对称，则该函数一定不是奇函数或偶函数。判断函数的奇偶性主要是根据奇、偶函数的定义，有时也利用奇偶性的相关性质。0)()(xfxf是判断)(xf为奇函数的有效方法。3、函数)(xfy和其反函数)(1xfy的图形关于直线xy是对称的，)(xfy的2定义域是其反函数)(1xfy的值域。另外需要注意，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数。求反函数的步骤是：首先从方程)(xfy中解出x，得到)(1yfx，然后将x和y对调，即得该函数的反函数)(1xfy。4、在讨论复合函数时，要注意进行复合和分解时函数的定义域。将两个或两个以上函数进行复合的方法主要有：（1）代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数表达式替代，适用于初等函数的复合；（2）分析法：根据最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式和定义域进行分析，从而得出复合函数，适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。5、在求函数极限时，要注意有时需要分别讨论其左、右极限。对一些x的极限，应该注意分别考虑x和x两种情况。（e的x次方）6、在求幂指函数)()]([xgxf的极限时，可以考虑将其先取对数再求极限，当函数呈“1”型不定式时，也可以将其化成)(10)()](1[limxxx或)()(])(11[limxxx的形式，或凑指数幂使之成为上述形式，然后利用第二个重要极限求解。7、求函数极限的一个值得推荐的方法是利用等价无穷小替换，有时可使解题过程大大简化，这时要注意进行等价无穷小替换的原则是，只有作为因子的无穷小量才能用与其等价的无穷小替换，而作为加、减项的无穷小则不能用等价无穷小随意替换。8、在讨论函数连续性时，常见两种情况：（1）)(xfy在点0x处的两侧表达式不同，此时函数)(xfy在点0x连续的充分必要条件是)()(lim)(lim00000xfxfxfxxxx；（2）)(xfy在点0x处的两侧为同一表达式，此时函数)(xfy在点0x连续的充分必要条件是)()(lim00xfxfxx。9、讨论带绝对值符号的函数的极限或连续性时，一般先去掉绝对值符号，将函数改成分段函数，然后再讨论在分段点处函数的左、右极限或左、右连续性。10、在求函数的间断点时，需要注意，只有在可去间断点处才可以修改或补充函数在这一点的定义，使得函数在该点连续。第二章导数与微分一、基本要求1.理解导数和左右导数的定义，知道可导与连续、左右导数的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线与法线方程，会用导数描述一些物理量。32.熟练应用导数的基本公式和求导法则（复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数求导法则、由参数方程所确定函数的求导法则）求一般函数的导数。3.了解高阶导数的概念及求导法则，会求简单函数的n阶导数，会求分段函数的一、二阶导数。4.理解微分的概念、微分和导数的关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。二、难点导数和微分的概念，复合函数的求导、隐函数求导三、重点和注记１、导数的定义有两种表示形式，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000和000)()(lim)(0xxxfxfxfxx，在利用定义求函数的导数时，可根据不同情况选择利用以上两式，例如在求分段函数在分段点的导数时，通常用第二个表达形式。2、一般，以下几种情况下，需要利用定义来求导数：（1）在函数表达式中有抽象函数记号，已知其在某点连续，但不知它是否可导，欲求其导数时；（2）求分段函数在分段点的导数时；（3）求带绝对值符号的函数在分段点的导数时，此时应先去掉绝对值符号，将函数改成分段函数。3、求复合函数的导数是本章的重点，也是一个难点。复合函数求导关键在于搞清楚函数的复合关系，从外到内一层一层的求导，既不能重复，也不能遗漏。对于某些比较复杂的复合函数，在求导前，可先进行换元，引入中间变量，将函数变成比较简单的形式后再求导，然后乘以中间变量的导数。4、对于由方程0)(yxF，所确定的函数)(xyy，求导数dxdy的方法有两个：（1）将方程两边同时对x求导，此时需要注意y是x的函数，因此y的函数是x的复合函数，因此应该用复合函数的求导法则来求。（2）可以利用微分形式的不变性，在方程两边求微分，然后解出dxdy。5、在求幂指函数)()]([xgxfy的导数时，可以采取两种办法：（1）用对数求导法，将两边取对数，然后按隐函数求导的思路求导；（2）将幂指函数改写成)(ln)(xgxfey，再利用复合函数求导法则求dxdy。6、除了求幂指函数的导数时可以应用对数求导法之外，当函数为一系列因子的连乘、连除、乘方时，采用对数求导法也可以使运算简便。4第三章导数的应用一、基本要求⒈理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理．泰勒定理及其应用．⒉掌握洛必达法则求不定式极限的方法．⒊掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式、恒等式的方法、确定根数．⒋掌握用导数研究函数的状态（极值一阶导、最值、凹凸向、拐点二阶导、函数的图形）．⒌会求解最大值、最小值的实际应用问题．⒍理解曲线弧函数的微分，会求曲率及曲率半径（互为倒数）．二、难点构造辅助函数证明中值定理结论，洛必达法则占用情形与简化，最值问题目标函数的建立．三、重点与注记⒈理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论，会求；对简单中值结论，会构造辅助函数、用罗尔定理或拉格朗日中值定理证明．⒉熟练掌握洛必达法则：注意适用条件，将各种不定式转化为00或型，正确求导，注意化简（如用等价无穷小替换其因式，先求出部分因式的极限）．⒊掌握用导数判断函数的单调性，利用单调性证明不等式、恒等式、确定极值、根数．⒋证明不等式可用单调性、拉格朗日定理、化成最值，或用凹凸性．但最常用单调性，注意不能由0)(xf直接说0)(xf．⒌连续函数)(xf的极值点0x必是)(xf的驻点或不可导点，但这种点却不一定是极值点．⒍函数极值概念是局部性的，用以描述函数在一点邻域内的性态．与在闭区间上的最大值、最小值问题不同．⒎极值的必要条件和充分条件：⑴函数)(xf取得极值的必要条件：若)(xf在可导点0x取得极值，则必有0)(0xf，并称0xx为函数)(xf的驻点．⑵函数)(xf取得极值的充分条件：极值的两个判定法则（该点导数为零且两侧导数值异号）．⒏曲线凹凸性和拐点：拐点是曲线凹凸性发生变化的点，且拐点)(,00xfx的x坐标必为)(xf的驻点或不可导点，但这种点却不一定是拐点（的x坐标）．⒐函数作图：将讨论所得的函数的性态汇入总表，即可看出其图形的走势（变化态势），再加上经过的特殊点（即控制点，如与坐标轴交点、端点、拐点、极值点、补充点等），渐近线，就不难画图了．5第四章不定积分一、基本要求⒈熟悉不定积分基本公式．⒉熟练掌握不定积分换元法、分部积分法．⒊掌握较简单的有理函数、无理函数的积分．二、难点⒈不定积分的换元法，特别是凑微分法．⒉不定积分的分部积分法，被积函数中如何选取u及v．⒊一些不定积分做题的技巧．三、重点与注记⒈理解原函数与不定积分的联系：CxFdxxf)()(是)(xf在区间I上原函数的一般表达式．⒉两类换元积分法的区别与联系⑴第一类换元积分法（即凑微分法）中的代换)(xu是从不定积分的被积函数中分离出来的，在凑微分的过程中逐步明确的；而第二类换元积分法中的代换)(tx是根据被积函数的特点一开始就选定的；⑵第二类换元积分法（即变量代换法）中的代换)(tx必须具有单值反函数，而第一类换元积分法中的代换)(xu却无此限制；⑶原积分变量x在第一类换元积分法中的代换)(xu中是自变量，而在第二类换元积分法中的代换)(tx中却处于因变量的地位．⑷第二类换元积分法常用的代换（或替换）①三角代换：taxsin，taxtan，taxsec22t．②无理代换：nbaxx20t．③倒代换：tx1．④万能代换：2tanxt，212sinttx，2211costtx，dttdx211．⒊不定积分分部积分法的关键是：正确选择如u和v，使得转换后的不定积分uvd（或vdxu）比原先的不定积分vud（或dxvu）容易计算时，可使用分部积分法．6⒋特殊类型函数的积分⑴任何有理函数的积分总可积出：任何有理函数总可用多项式除法（长除法）化为多项式与真分式之和，其中多项极易积分．由代数学定理真分式又可以化为四类简单分式之和，它们总可积出．⑵三角函数有理式的积分：根据具体题目，可作万能代换或三角代换解之．⑶简单无理函数的积分：根据具体题目，可作根式代换或三角代换解之．第五章定积分及其应用一、基本要求（1）理解定积分的概念与性质．（2）会求变上限积分的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．（3）掌握定积分的换元积分法、分部积分法，知道常用的定积分公式（奇偶函数在对称区间上的积分，周期函数的积分，正弦、余弦函数在π[0,]2的积分，周期函数在n个区间上的积分，Wallis公式，Euler公式）．“奇函数在对称区间上积分为零，偶函数在对称区间上积分为在二分之一区间上积分的两倍”（4）掌握用定积分表示和计算的一些几何量与物理量（平面图形面积，平面曲线弧长，旋转体体积，平行截面面积已知的立体的体积，功、水压力、引力）．（5）了解广义积分的概念，会计算广义积分（反常积分）．二、难点定积分的概念，定积分的计算，变上限积分所定义的函数及其有关结论.三、重点与注记1．正确理解定积分定义．定义中有两个任意，将区间],[ba任意分割成n个小区间),,2,1](,[1nixxii，在每个小区间],[1iixx上任意取一点i．如果已知()fx可积，可以通过选择特殊的分割和选择特殊的i来计算定积分baxxfd)(（例如计算某些极限）黎曼可积，黎曼和．2．注意正确使用定积分的换元积分法．定积分换元积分法是通