2013届高考数学(理)一轮复习课件:第十一篇 计数原理方法技巧3 排列与组合混合模型)

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方法技巧3排列与组合混合模型【考情快递】此类问题在高考常考选择题或填空题,难度中等.方法1:分类(步)处理解题步骤①将问题分类;②将每一类问题分成若干步解决.适用情况某些问题总体不好解决时,常常分成若干类去解决.【例1】►用6种不同的颜色给如图所示的4个格子涂色,每个格子涂1种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的2个格子不同色,不同的涂色方法共有________种.解析若用2种颜色涂,有C26种选法,满足相邻格异色、1个格子1种颜色的涂法有A22种,共有C26A22=30(种);若用3种颜色涂,有C36种选法,任选两个不相邻的格子,有3种选法,再与另两格一起涂3种颜色,则有3×A33种,共有C36×A33×3=360(种),综上,所求涂色方法总共有390种,故填390.答案390方法2:元素(位置)优先法解题步骤①特殊元素优先排,一般元素后排;②特殊位置优先排,其余位置后排.适用情况对于有特殊位置或特殊元素的问题可以采用此法.【例2】►用0,1,2,…,9这十个数字组成无重复数字的四位数,若千位数字与个位数字之差的绝对值是2,则这样的四位数的个数为________.解析若个位数字为0,则千位数字为2,这样的四位数有A28个;若个位不为0,则个位与千位应为1与3,2与4,3与5,4与6,5与7,6与8,7与9,这样的四位数有A22A28C17,所以共有A28+C17A22A28=840个符合条件的四位数.故填840.答案840方法3:捆绑或插空法解题步骤①插空法:先排没有限制条件的元素,有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间;②捆绑法:将若干特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,再将特殊元素在位置上全排列.适用情况某些元素不能相邻或要在特殊位置上用插空法;某些元素必须相邻用捆绑法.【例3】►一条长椅上有9个座位,3个人坐,若相邻2人之间至少有2个空椅子,共有________种不同的坐法.解析法一先将3个人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×),这时共占据了7张椅子,还有2张空椅子,一是分开插入,空当如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓),从4个空当中选2个插入,有C24种插法;二是2张同时插入,有C14种插法,再考虑3个人可交换,有A33种方法.所以,共有A33(C24+C14)=60(种).故填60.法二下面再看另一种构造方法:先将3个人与2张空椅子排成一排,从5个位置中选出3个位置排人,另2个位置排空椅子,有A35C22种排法,再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间,只有1种插法,所以所求的坐法数为A35·C22=60.故填60.答案60方法运用训练31.地面上有A,B,C,D四个科研机构在接收嫦娥卫星发回的某类信息,它们两两之间可以互相接发信息,由于功率限制,卫星只能随机地向其中一个科研机构发送信息,每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息,某日四个机构之间发送了三次信息后,都获得了卫星发回的同一条信息,那么A接收到该信息后互相联系的方式共有().A.16种B.17种C.34种D.48种解析本题应先分类求解,再在每一类中分步:第一类:A直接发送给B,C,D三处,有C33=1(种).第二类:A直接发送给B,C,D中的两处,再由其中一处通知第四处,有C23·C12=6(种).第三类:A直接发送给B,C,D中的一处,再由该处通知另两处,有C13·(C12+1)=9(种).所以共有1+6+9=16种不同的方式,故选A.答案A2.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如下图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,问不同的栽种方法有多少种?解析由于6部分种4种颜色的花,故必有两部分或两部分以上的区域种同种颜色的花,从而从同颜色的花进行分类.另外,本题也可以用“树支结构”解答.法一从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求.(1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有N1=4×3×2×2×1=48(种);(2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有N2=4×3×2×2×1=48(种);(3)②与④且③与⑥同色,则共有N3=4×3×2×1=24(种).所以共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120(种)法二记颜色为A、B、C、D四色,先安排1、2、3有24种不同的栽法,不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C,则4、5、6栽种方法共5种,由以下树状图清晰可见.根据分步乘法计数原理,不同栽种方法有N=24×5=120.答案1203.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有________人.解析符合条件的四位数的个位必须是0,5,但0不能排在首位,故0是其中的特殊元素,应优先安排,按照0排在个位,0排在十、百位和不含0为标准分为三类:①0排在个位能被5整除的四位数有A11·(C14C24)A33=144个;②0排在十、百位,但5必须排在个位有A12·A11(C14C13)A22=48个;③不含0,但5必须排在个位有:A11C13C24A33=108个.分类加法计数原理得所求四位数共有300个.答案3004.(2011·淮阳中学1次月考)安排5名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场,不同排法的总数是________(用数字作答).解析分两种情况:(1)不最后一个出场的歌手第一个出场,有A44种排法;(2)不最后一个出场的歌手不第一个出场,有A13A13A33种排法,故共有78种不同排法.答案785.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).解析题设中“两个各2人”就可以看成把4人分成两组,每组中有2人,把每组中有2人“捆”在一起,这样就形成两个独立的元素.于是该题的解答应该是:先分组,考虑到有2个是平均分组,得两个两人组C26C24A22,两个一人组C12C11A22,再全排列得:C26C24A22·C12C11A22·A44=1080.答案10806.马路上有编号为1,2,3,…,10的十只路灯,为节约用电又不影响照明,可以把某中的3只路灯熄灭,但不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯,问满足条件的熄灭3只路灯的方法有多少种?解不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯,实质上是熄灭的任意两只路灯不能相邻.亮着的7只路灯是不加区别的,其排列的情况只有一种,这7只路灯之间有8个间隙,将3只熄灭的路灯插入间隙,共有C38种插法,所以,满足条件的熄灭3只路灯的方法有1×C38=56种.

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