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主页随机变量及其概率分布主页1．离散型随机变量X的概率分布(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以将①用下表形式来表示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn忆一忆知识要点要点梳理主页称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的．显然，这里的pi(i＝1,2，…，n)具有性质：①pi0；②p1＋p2＋…＋pn＝.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的．忆一忆知识要点概率分布≥1概率之和2．如果随机变量X的概率分布表为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的0—1分布或两点分布．要点梳理主页3．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则随机变量X的分布列：P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称X服从超几何分布，记为，并将P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，记为．忆一忆知识要点CkMCn－kN－MCnNX～H(n，M，N)H(k；n，M，N)要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．随机变量的本质(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果．(2)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．主页2．离散型随机变量的概率分布的作用对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的概率分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．主页例1设离散型随机变量X的概率分布表为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的概率分布表；(2)|X－1|的概率分布表．离散型随机变量概率分布的性质利用pi≥0，且所有概率之和为1，求m；求2X＋1的值及其概率分布表；求|X－1|的值及其概率分布表．主页解由概率分布的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个概率分布表为：(1)2X＋1的概率分布表：2X＋113579P0.20.10.10.30.3主页(2)|X－1|的概率分布表：|X－1|0123P0.10.30.30.3(1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它们的概率分布表可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出概率分布表．探究提高主页若离散型随机变量X的概率分布表为：X01P9c2－c3－8c则常数c＝________，P(X＝1)＝________.变式训练1由离散型随机变量概率分布的性质可知：9c2－c＋3－8c＝10≤9c2－c≤10≤3－8c≤1，解得c＝13.P(X＝1)＝3－8×13＝13.1313主页例2袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布表；(3)计分介于20分到40分之间的概率．(1)是古典概型；(2)关键是确定X的所有可能取值；(3)计分介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和．求离散型随机变量的概率分布主页解(1)方法一“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.方法二“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件．因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.主页(2)随机变量X的可能取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为P(X＝2)＝C34C310＝130，P(X＝3)＝C12C24C310＋C22C14C310＝215，P(X＝4)＝C12C26C310＋C22C16C310＝310，P(X＝5)＝C12C28C310＋C22C18C310＝815.∴随机变量X的概率分布表为X2345P130215310815主页(3)由于按3个小球上最大数字的9倍计分，所以当计分介于20分～40分时，X的取值为3或4，所以所求概率为P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到概率分布表上来，这样所求的概率就可由概率分布表中相应取值的概率累加得到．探究提高主页袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的概率分布表；(3)求甲取到白球的概率．变式训练2解(1)设袋中白球共有x个，根据已知条件C2xC27＝17，即x2－x－6＝0，解得x＝3，或x＝－2(舍去)．即袋中原有白球的个数为3.主页(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2,3,4,5.因此，P(X＝1)＝A13A17＝37，P(X＝2)＝A14A13A27＝27，P(X＝3)＝A24A13A37＝635，P(X＝4)＝A34A13A47＝335，P(X＝5)＝A44A13A57＝135.则随机变量X的概率分布表为：X12345P3727635335135(3)甲取到白球的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝37＋635＋135＝2235.主页例3一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布表．超几何分布问题(1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程；(2)随机变量X服从超几何分布．主页解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其概率分布表为X0123P112512512112主页对于服从某些特殊分布的随机变量，其概率分布表可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．探究提高主页在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布表．变式训练3解(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P＝C14C16＋C24C210＝3045＝23.或用间接法，即P＝1－C26C210＝1－1545＝23.主页(2)依题意可知X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P(X＝0)＝C04C26C210＝13，P(X＝10)＝C13C16C210＝25，P(X＝20)＝C23C210＝115，P(X＝50)＝C11C16C210＝215，P(X＝60)＝C11C13C210＝115.所以X的概率分布表为：X010205060P1325115215115主页(10分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求随机变量ξ的概率分布表．变式训练3(1)根据x，y的取值，随机变量ξ的最大值为3，当ξ＝3时，只能x＝1，y＝3或x＝3，y＝1；(2)根据x，y的取值，ξ的所有取值为0,1,2,3，列举计数计算其相应的概率值即可．审题视角主页规范解答解(1)∵x，y可能的取值为1,2,3，∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3.因此，随机变量ξ的最大值为3.[3分]∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，∴P(ξ＝3)＝29.故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为29.[5分]主页(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况．[8分]∴P(ξ＝0)＝19，P(ξ＝1)＝49，P(ξ＝2)＝29.则随机变量ξ的概率分布表为ξ0123P19492929[10分]