2013届高考数学一轮复习讲义：12[1].7 概率与统计的综合应用

主页一轮复习讲义概率与统计的综合应用主页1．对一组数据进行线性变换时，一般地，均值和方差均可能发生变化．如果变换的关系式为yi＝kxi＋b，且{xi}(i＝1,2，…，n)的均值和方差分别为x和s2，则{yi}(i＝1,2，…，n)的均值为y＝kx＋b，方差为k2s2.2．比较数学期望是进行效益决策的常用方法．3．常见综合题型：概率分布与排列组合相综合；二项分布与二项式定理相综合；数学期望与函数相综合．忆一忆知识要点要点梳理主页[难点正本疑点清源]离散型随机变量的均值与方差的意义(1)离散型随机变量的均值①均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．②E(X)是一个实数，由X的概率分布唯一确定，它描述X取值的平均状态．③E(aX＋b)＝aE(X)＋b，说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b的均值是随机变量X均值的线性函数．主页(2)离散型随机变量的方差①V(X)表示随机变量X相对E(X)的平均偏离程度，V(X)越大，表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，V(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近．②V(X)与E(X)一样，也是一个实数，由X的概率分布唯一确定．主页例1将3个小球任意放入4个大的玻璃杯中，杯中球的最多个数记为X，求X的概率分布．事件的概率及概率分布问题解依题意可知，杯子中球的最多个数X的所有可能值为1,2,3.当X＝1时，对应于4个杯子中恰有3个杯子各放一球的情形；当X＝2时，对应于4个杯子中恰有1个杯子放两球的情形；当X＝3时，对应于4个杯子中恰有1个杯子放三个球的情形．∴当X＝1时，P(X)＝A3443＝38；当X＝2时，P(X)＝C23C14C1343＝916；主页当X＝3时，P(X)＝C1443＝116.可得X的概率分布为X123P38916116主页(1)解答本题关键在于得出杯子中球的最多个数X的所有可能值后，准确地计算出相应的概率．而在求概率时，常易出现失误，错误地认为P(X＝1)＝A3434，P(X＝2)＝C23C14C1334，P(X＝3)＝C1434；或P(X＝1)＝C3443，P(X＝2)＝A23A14A1343，P(X＝3)＝A1443等等．(2)由本题可以看出，求离散型随机变量的概率分布，必须正确地求出相应的事件的个数，即正确求出相应的排列、组合数，掌握好排列、组合知识是学好概率分布的基础与前提．探究提高主页厂家在产品出厂前需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接受这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格品，按合同规定该商家从中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接受这批产品，否则拒收．分别求出该商家检验出不合格产品数分别为1件和2件的概率，并求该商家拒收这批产品的概率．变式训练1解记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i件”(i＝1,2)为事件Ai.P(A1)＝C13C117C220＝51190，P(A2)＝C23C220＝3190.主页∴商家拒收这批产品的概率P＝P(A1)＋P(A2)＝51190＋3190＝54190＝2795.故商家拒收这批产品的概率为2795.主页例2为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的概率分布．二项分布问题解将问题具体化，即假设有6项工程，其中基础设施工程有3个，民生工程有2个，产业建设工程有1个，每名工人任选一个工程的概率相等，都是16.主页(1)设三类工程依次记为A3，A2，A1，个数依次为3,2,1，每名工人从中任选一个，相当于填一个表□□□，依次填甲，乙，丙三名工人选中的项目，总选法数为63.三人选的项目类别互不相同，方法数可分步计算：①将A3，A2，A1排序填入表格□□□，有A33＝6(种)方法，②每人在已定好的项目类别中，选具体项目有C13C12C11＝6(种)，由乘法原理知共有62种填法，所以三人所选项目类别互不相同的概率P＝6263＝16.(2)将基础设施工程与产业建设工程合并，称为A类工程，民生工程为B类工程．任何一人选A类工程即视为成功，选B类工程即视为失败．主页由此，问题变为ξ服从二项分布B3，23.则P(ξ＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3，则ξ的概率分布为ξ0123P1272949827运用概率模型进行新背景问题的识别是一种重要思想，而整体处理是实现模式构造的技术手段．探究提高主页假设飞机的每一个引擎在飞行中的故障率都是1－p，且各引擎是否有故障是相互独立的．如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，问对于多大的p而言，四引擎飞机比两引擎飞机更安全？变式训练2解四引擎飞机飞行成功的概率为C24p2(1－p)2＋C34p3(1－p)＋C44p4＝6p2(1－p)2＋4p3(1－p)＋p4.两引擎飞机飞行成功的概率为C12p(1－p)＋C22p2＝2p(1－p)＋p2.主页要使四引擎飞机比两引擎飞机更安全，则有6p2(1－p)2＋4p3(1－p)＋p42p(1－p)＋p2，即6p2(1－p)2＋4p3(1－p)2p(1－p)＋p2(1－p2)．∵0p1，∴6p(1－p)＋4p22＋p(1＋p)，解得23p1.即当引擎不出故障的概率p满足23p1时，四引擎飞机比两引擎飞机更安全．主页例3抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏．某公司决定以玩抛掷(两颗)骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．方案1：总点数是几就送礼券几十元.总点数23456789101112礼券额2030405060708090100110120方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元.总点数23456789101112礼券额2040608010012010080604020比较数学期望进行效益决策问题主页方案3：总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元.总点数23456789101112礼券额12010080604020406080100120如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案？请你对以上三种方案给出裁决．解由已知可知，等可能基本事件总数为36种．其中点数和为2的基本事件数为1个，点数和为3的基本事件数为2个，点数和为4的基本事件数为3个，点数和为5的基本事件数为4个，点数和为6的基本事件数为5个，点数和为7的基本事件数为6个，点数和为8的基本事件数为5个，点数和为9的基本事件数为4个，点数和为10的基本事件数为3个，点数和为11的基本事件数为2个，点数和为12的基本事件数为1个．主页根据古典概型的概率计算公式易得下表：点数和23456789101112概率136236336436536636536436336236136用数学期望(平均收益)进行比较：方案1的数学期望为20×136＋30×236＋40×336＋50×436＋60×536＋70×636＋80×536＋90×436＋100×336＋110×236＋120×136＝70.方案2的数学期望为20×136＋40×236＋60×336＋80×436＋100×536＋120×636＋100×536＋80×436＋60×336＋40×236＋20×136＝7309.主页方案3的数学期望为120×136＋100×236＋80×336＋60×436＋40×536＋20×636＋40×536＋60×436＋80×336＋100×236＋120×136＝5309.从平均收益看，方案2送出的礼券最多，方案3送出的礼券最少，故老总最好选方案3.在经济效益决策中，以“期望”收益作为不同方案的比较，是判断效益优劣的一种常用标准．解决这类题目的关键是正确计算数学期望．探究提高主页某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息．买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好(即经济衰退)．若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元．如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元．又设经济形势好、中等、不好的概率分别为30%,50%和20%.试问该投资者应选择哪一种投资方案？变式训练3解由题设，一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示：主页购买股票状态经济形势好经济形势中等经济形势不好收益4000010000－20000概率0.30.50.2存入银行状态经济形势好经济形势中等经济形势不好收益800080008000概率0.30.50.2从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的，但如果经济形势不好，则采取存入银行的方案比较好．下面通过计算加以分析．主页如果购买股票，其收益的数学期望E1＝40000×0.3＋10000×0.5＋(－20000)×0.2＝13000(元)；如果存入银行，其收益的数学期望E2＝8000×0.3＋8000×0.5＋8000×0.2＝8000(元)．因此，购买股票的收益比存入银行的收益大，按期望收益最大原则，应选择购买股票．主页(16分)一射击运动员进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率p与运动员离飞碟的距离s(米)成反比，每一个飞碟飞出后离运动员的距离s(米)与飞行时间t(秒)满足s＝15(t＋1)(0≤t≤4)，每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中，则不再进行第二次射击)．该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击，命中的概率为45，当第一次射击没有命中飞碟，则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击，子弹的飞行时间忽略不计．(1)在第一个飞碟的射击训练时，若该运动员第一次射击没有命中，求他第二次射击命中飞碟的概率；思想与方法概率中的函数思想主页(2)求第一个飞碟被该运动员命中的概率；(3)若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响)，求他至少命中两个飞碟的概率．(1)根据已知条件，求得用t表示的函数p，计算求得第二次命中飞碟的概率，根据互斥事件及事件的独立性求得第一个飞碟被击中的概率，然后根据二项分布求得至少命中两个飞碟的概率．审题视角主页规范解答解(1)依题意设p＝ks(k为常数)，由于s＝15(t＋1)(0≤t≤4)，∴p＝k15t＋1(0≤t≤4)．[2分]当t＝0.5时，p1＝45，则45＝k15×0.5＋1，解得k＝18.∴p＝1815t＋1＝65t＋1(0≤t≤4)．[4分]当t＝1时，p2＝65×2＝35.∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为35.[6分]主页(2)设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事件B，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件A＋AB.[7分]∵P(A)＝45，P(B)＝35，∴P(A＋AB)＝P(A)＋P(A)P(B)＝45＋1－45×35＝2325.[9分]∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为2325.[10分](3)设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ，则ξ～B3，2325.[12分]主页∴至少命中两个飞碟的概率为P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C23p2(1－p)＋C33p3＝3×23252×225＋23253＝1534115625.[16分]批阅笔记(1)函数思想也是解决概率问题的基本思想，结合题意，利用参变量建立目标函数将问题解决．(2)本题易错点：不能正确地建立函数，找不到解决问题的突破口，再者计算错误．主页1．在计数问题、概率计算问题中，分解转化是一种常用