2013届高考数学一轮复习讲义：第一章 1[1].4 集合与常用逻辑用语的综合应用

主页一轮复习讲义集合与常用逻辑用语的综合应用主页1．在解题过程中，加深对集合之间的关系与集合运算等概念的理解．2．正确理解命题及其关系、逻辑联结词与量词等概念，进一步认识集合语言与逻辑语言之间的关系．3．在集合运算过程中，要借助数轴、直角坐标系、Venn图等将有关集合直观地表示出来，注意集合与方程、函数、不等式、三角函数、几何等知识的密切联系与综合运用．忆一忆知识要点要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有共同之处，在解题时，可以进行相互转化．2．集合运算可以考虑数形结合、借助数轴、Venn图．主页集合问题例1已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|[x－(a＋1)][x－(a＋4)]0}，分别根据下列条件，求实数a的取值范围．(1)A∩B＝A；(2)A∩B≠∅.由≥0，得≥0，即≤0，解得－1x≤0，故A＝(－1,0]，B＝(a＋1，a＋4)．(1)A∩B＝A，即A⊆B，故得－4a≤－2，故a的取值范围是(－4，－2]．1121xx1121xx1xx1xx,04,11aa主页探究提高在将A，B具体化后，宜结合图形(本例为数轴)分析集合间的关系；对题(2)还可以进行反面思考：若A∩B＝∅，则a＋1≥0或a＋4≤－1，即a≥－1或a≤－5，从而得到A∩B≠∅时，a的取值范围是(－5，－1)．(2)若A∩B≠∅，则，得－5a－1，故a的取值范围是(－5，－1)．0114aa主页已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，当A∪B＝B时，求实数a的取值组成的集合P.变式训练1由A∪B＝B知A⊆B.又A＝{－4,0}，故此时必有B＝{－4,0}，即－4,0为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是－4＋0＝－2(a＋1)，(－4)×0＝a2－1，得a＝1.即P＝{1}．主页例2已知p：x2－4x－32≤0；q：[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m0)．若“非p”是“非q”成立的必要但不充分条件，求m的取值范围．充分条件、必要条件问题p：－4≤x≤8，从而p为真时x的取值范围是集合P＝[－4,8]．因为“非p”是“非q”成立的必要但不充分条件，所以“若非q，则非p”是真命题，但“若非p，则非q”是假命题，即“若p，则q”为真，“若q，则p”为假，故PQ，从而，且不等式组中两个等号不能同时成立，由此解得m≥7，即m的取值范围是[7，＋∞)．同理可得，q为真时x的取值范围是集合Q＝[1－m,1＋m]．8141mm主页求得P，Q后，也可得到“非p”：P0＝(－∞，－4)∪(8，＋∞)，“非q”：Q0＝(－∞，1－m)∪(1＋m，＋∞)．于是由“非p”是“非q”成立的必要但不充分条件，知Q0P0.探究提高主页已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n＋1(n∈N*)，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1＝1.变式训练2证明(1)必要性若数列{an}为等差数列，则a1，a2，a3也成等差数列，∴2a2＝a1＋a3.又a2＝3－a1，a3＝5－a2＝2＋a1，从而，2(3－a1)＝a1＋(2＋a1)，∴a1＝1.主页(2)充分性由a1＝1，得a2＝3－a1＝2.因为(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝[2(n＋1)＋1]－(2n＋1)＝2，即an＋2－an＝2，所以数列{a2k－1}是首项为1、公差为2的等差数列，数列{a2k}是首项为2、公差为2的等差数列，从而a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，a2k＝2＋2(k－1)＝2k，故an＝n，进而an＋1－an＝1，∴{an}为等差数列.故数列{an}为等差数列的充要条件是a1＝1.主页例3已知a12且a≠1，条件p：函数f(x)＝log(2a－1)x在其定义域上是减函数，条件q：函数g(x)＝x＋|x－a|－2的定义域为R.如果“p或q”为真，试求a的取值范围．有关逻辑联结词的问题若p为真，则02a－11，得12a1.若q为真，则x＋|x－a|－2≥0对∀x∈R恒成立．记f(x)＝x＋|x－a|－2，则f(x)＝2x－a－2，x≥a，a－2，xa，主页∴f(x)的最小值为a－2，故q为真即为a－2≥0，即a≥2.(1)首先求出p真、q真的条件，即a的范围．(2)由“p或q”为真，判断出p、q的真假．探究提高∵“p或q”为真，∴p真或q真．∴a的取值范围为12a1或a≥2.主页已知a0，命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．变式训练3方程a2x2＋ax－2＝0，即(ax＋2)(ax－1)＝0，∴x＝－2a或x＝1a.不等式x2＋2ax＋2a≤0只有一个实数解，即Δ＝(2a)2－8a＝0，∵a0，∴a＝2.主页∵“p或q”为假命题，∴“p假且q假”，∴－2a1，1a1，a≠2，解得0a1，即a的取值范围是(0,1)．主页易错警示(14分)已知p：|3x－4|2，q：1x2－x－20，r：(x－a)·(x－a－1)0.(1)綈p是綈q的什么条件？(2)若綈r是綈p的必要非充分条件，求实数a的取值范围．对命题否定不当致误主页学生解答展示主页(1)可以求出p、q的不等式的解集，再对p、q否定，即求出它们对应不等式的解集的补集，也可以直接对不等式否定，但注意对分式不等式否定时，注意分母为零的情况．(2)綈r是綈p的必要非充分条件等价于綈p⇒綈r且綈r⇒綈p.审题视角主页规范解答(1)p：|3x－4|2，∴3x－42或3x－4－2，∴x2或x23，∴綈p：23≤x≤2.[2分]q：1x2－x－20，即x2－x－20，令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.∴x2－x－20的解集为{x|x－1或x2}．[4分]∴綈q：{x|－1≤x≤2}，∴綈p是綈q的充分不必要条件．[6分]主页(2)r：(x－a)(x－a－1)0，∴axa＋1.∴綈r：x≤a或x≥a＋1.∵綈r是綈p的必要非充分条件．[8分]∴綈p⇒綈r且綈r⇒綈p，[10分]∴2≤a或a＋1≤23，∴a≥2或a≤－13.[12分]∴a的取值范围是a|a≥2或a≤－13.[14分]主页(1)对q：1x2－x－20的否定应为：1x2－x－2≤0或x2－x－2＝0.为避免出错，可以先求q：1x2－x－20的解集，再否定．(2)在由綈p⇒綈r时，应特别注意分析是否能取等号．这是考生比较易出错的地方．要特别注意验证等号能否成立．批阅笔记主页1．有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式．一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”．2．逻辑联结词中，较难理解含义的是“或”，应从以下两个方面来理解概念：(1)逻辑联结词中的“或”与集合中的“或”含义的一致性．(2)结合实例，剖析生活中的“或”与逻辑联结词中的“或”之间的区别．生活中的“或”一般指“或此或彼只必具其一，但不可兼而有之”，而逻辑联结词中的“或”具有“或此或彼或兼有”三种情形．方法与技巧主页1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.3．对一个命题进行否定时，要注意命题所含的量词，是否省略了量词，否定时将存在量词变为全称量词，将全称量词变为存在量词，同时也要否定命题的结论．失误与防范