2013届高考数学一轮复习讲义：第二章 2[1].9 函数图象

主页一轮复习讲义函数图象主页1．利用描点法作图描点步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．利用图象变换作图(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移个单位而得到．忆一忆知识要点左右a上下b要点梳理主页(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于对称．(3)翻折变换①作y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；②作y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．忆一忆知识要点x轴原点要点梳理主页(4)伸缩变换①y＝af(x)(a0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a1时)缩(a1时)到原来的a倍．②y＝f(ax)(a0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)缩(a1时)到原来的1a倍．忆一忆知识要点要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不是一回事．函数y＝f(x)的图象关于原点对称是自身对称，说明该函数为奇函数；而函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)图象关于原点对称，是两个函数的图象对称．主页2．一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称不是一回事．函数y＝f(x)的图象关于y轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，是两个函数的图象对称．主页5．已知函数f(x)＝xx－1.(1)画出f(x)的图象；(2)指出f(x)的单调区间．解(1)∵f(x)＝xx－1＝(x－1)＋1x－1＝1＋1x－1，∴f(x)的中心在(1,1)．如图．(2)f(x)的单调减区间为(－∞，1)、(1，＋∞)．主页例1分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x＋2x＋3；(4)y＝x2－2|x|－1.作函数的图象可以用描点作图，也可以用图象变换法作图．主页解(1)∵y＝|lgx|＝lgx，x≥1，－lgx，0x1.∴函数y＝|lgx|的图象如图①；(2)将函数y＝2x的图象向左平移2个单位即可得出函数y＝2x－2的图象，如图②；（3）∵y＝x＋2x＋3＝1－1x＋3，可见原函数可由y＝－1x向左平移3个单位再向上平移1个单位而得，如图③.主页(4)∵y＝x2－2x－1，x≥0x2＋2x－1，x0且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象．得图象如图④.(1)已知解析式作函数的图象，若为基本函数可联想其性质，利用描点法作图象，若解析式较复杂应先化简，讨论性质后再进行；(2)图象的左右平移，只体现出x的变化，与x的系数无关；图象的上下平移，只与y的变化有关，如题(3)．探究提高主页作出下列函数的图象：(1)y＝x3|x|；(2)y＝x＋2x－1；(3)y＝|log2x－1|.变式训练1解(1)首先要化简解析式，y＝x2，x0，－x2，x0.因y＝x3|x|为奇函数，作出y＝x2，x0的图象后，再根据奇函数的图象关于原点对称，作出y轴左边的图象，如图①.主页(2)因y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y＝x＋2x－1的图象，如图②.(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③.主页例2已知函数f(x)＝lg|x|，g(x)＝－x2＋1，则函数f(x)·g(x)的图象只可能是______．(填序号)函数图象与解析式的对应关系f(x)·g(x)＝－(x2－1)lg|x|是偶函数，从f(x)·g(x)的性质入手进行判断．主页解析f(x)g(x)＝－(x2－1)lg|x|是偶函数，图象不可能是①③.又f(x)·g(x)＝－(x2－1)lg|x|无最小值，所以只可能是④.答案④寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法：(1)知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．探究提高主页(2)知式选图：①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．主页函数y＝ax2＋bx与y＝x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是________．(填序号)变式训练2||logab主页解析函数y＝ax2＋bx的两个零点是0，－ba.对于①，②，由抛物线的图象可知，－ba∈(0,1)，∴ba∈(0,1)，相应的函数y＝x应为减函数，从而可知A，B均不符合；对于③，由抛物线的图象可知，a0，－ba－1，∴b0且ba1，∴ba1，∴函数y＝x应为增函数，因此③不正确；对于④，由抛物线的图象可知，a0，－ba∈(－1,0)，∴ba∈(0,1)，满足y＝x为减函数，因此④正确．答案④||logab||logab||logab主页例3已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集．函数图象的应用利用f(4)＝0易得m的值，此时函数f(x)可化为分段形式，利用描点法作出其图象，然后根据图象写出f(x)的单调区间和f(x)0的解集．主页解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.(2)f(x)＝x|x－4|＝x(x－4)＝(x－2)2－4，x≥4，－x(x－4)＝－(x－2)2＋4，x4.f(x)的图象如图所示：(3)f(x)的单调递减区间是[2,4]．(4)由图象可知，f(x)0的解集为{x|0x4或x4}．函数的图象形象直观地显示了函数的性质，所以通常用函数图象研究函数的最值、单调区间、交点个数和含参数的方程或不等式的解集等问题，体现了数形结合的数学思想．探究提高主页已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a0.(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．变式训练3解(1)f(x)＝x(x－a)，x≥0，－x(x－a)，x0，其图象如图．(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，a2，＋∞；单调递减区间是0，a2.主页(3)结合图象知，当a21，即a2时，所求最小值f(x)min＝f(1)＝1－a；当0a2≤1，即0a≤2时，所求最小值f(x)min＝fa2＝－a24.主页(5分)(2010·全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是____________．易错警示忽视变量的取值致误学生答案展示本题是求实数a的取值范围，已知两曲线有四个交点，因此，解题方法上应采用数形结合的数学思想．审题视角主页解析如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，观察图象可知，a的取值必须满足a14a－141，解得1a54.正确答案1，54主页批阅笔记(1)解答本题时有两点容易出现失误：一是画函数图象时，没有注意变量的取值，造成图象错误，因此导致结论错误；二是分析不全面，求错a的范围．(2)解决图象交点问题时，常见误区有：①含绝对值问题，不仅讨论时要注意变量的范围，作图时也要注意变量的范围；②分段函数求值时要分段求，注意各段上变量的取值；③各段上得出的变量的值，最后应写成并集，不是交集．主页1．图象变换法作图是学习和研究函数的基本功之一，变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及性质，准确把握基本函数的图象特征．2．数形结合思想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等，数形结合，借助于图象与函数的对应关系研究应用函数的性质，其本质是函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．方法与技巧主页1．平移变换影响的仅是函数解析式中的常数项，伸缩变换影响的是x或y的系数，对称变换影响的是符号的变化．2．左右平移时，发生变化的仅是x本身，如果x的系数不是1时，需要把系数提出来，再进行变换；上下平移时，发生变化的仅是y本身，如果y的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．失误与防范