2013届高考文科数学一轮复习考案4.2 三角函数的化简与求值

§4.2三角函数的化简与求值 真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选考点考纲解读1三角函数化简能运用三角函数基本公式进行简单的恒等变换,能利用这些公式进行简单的化简.2三角函数求值理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理正确的拆分,能对公式进行简单的逆用,利用这些公式进行求值. 从近几年高考数学试题的考查方向来看,这部分常常以客观题的形式出现,有时在大题的第一小问中出现,它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考查,主要题型有三角函数求值,通过三角式的变换研究三角函数的性质,在考查三角公式的掌握和运用的同时,还注重考查思维的灵活性和发散性,以及观察能力、运算推理能力和综合分析能力.预测2013年此类题仍以基础题出现或融合在第一道解答题中.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 1.两角和与差的三角函数公式:sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;tan(α±β)= .公式变形:①tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);tantan1tantanαβαβ考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选②辅助角公式:asinα+bcosα= sin(α+φ)(其中cosφ= ,sinφ= ).2.二倍角公式:sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1;tan2α= .公式变形:①1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(升幂公式)22ab22aab22bab22tan1tanαα②cos2α= ,sin2α= .(降幂公式)1cos22α1cos22α考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.半角公式sin =± ,cos =± ,tan =± ,其中符号“±”的选取由 角的范围确定.用正余弦来表示正切的半角公式:2θ1cos2θ2θ1cos2θ2θ1cos1cosθθ2θtan = = .2α1cossinααsin1cosαα考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.sin28°·cos107°-cos152°·sin107°等于 ()(A)1.(B) .(C) .(D)- .【答案】D22222【解析】sin28°·cos107°-cos152°·sin107°=sin28°·cos107°-cos(180°-28°)sin107°=sin28°·cos107°+cos28°·sin107°=sin135°= .22考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.设sin =m,则tan 等于 ()(A) .(B)2m .(C) .(D)1-m.【答案】C52521mm21m222112mmm【解析】cos = ,tan = ,tan = = = .521m521mm2522tan51tan52222111mmmm222112mmm考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.cosx·sin(x-1)-sinx·cos(1-x)等于 ()(A)-sin1.(B)sin1.(C)-cos1.(D)cos1.【解析】cosx·sin(x-1)-sinx·cos(1-x)=-cosx·sin(1-x)-sinx·cos(1-x)=-sin1.【答案】A考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选4.(2011年绍兴模拟)在锐角△ABC中,设x=sinA·sinB,y=cosA·cosB,则x,y的大小关系是.【答案】yx【解析】(法一)∵△ABC为锐角三角形,∴A+B ,∴cos(A+B)0,即cosA·cosB-sinA·sinB0,∴cosA·cosBsinA·sinB,即yx.(法二)特殊值法.令∠A=60°,∠B=45°,x= × = ,y= × = ,∴xy.2322264122224考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型1三角函数式的化简 例1(1)化简sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ );3633(2)化简 + (sin2α-cos2α).【分析】此三角函数式出现两类函数,利用两角和与差公式统一函数成为化简的主要目标.tantan2tan2tanαααα3考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【解析】(1)sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ )=sin(3x+ )sin[ +(x- )]+cos(3x+ )cos(x+ )=sin(3x+ )sin(x+ )+cos(3x+ )cos(x+ )=cos2x.3633326333333(2) + (sin2α-cos2α)= + (sin2α-cos2α)tantan2tan2tanαααα3222tantan1tan2tantan1tanαααααα3考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选= + (sin2α-cos2α)= + (sin2α-cos2α)=2sinαcosα- (cos2α-sin2α)=sin2α- cos2α232tantantanααα322tan1tanαα333=2sin(2α- ).3【点评】三角函数公式的结构特点是引导三角变换的导火线,“统一思想”是一个基本变换准则,否则三角变换过程就会乱.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练1(1)化简 sin( -x)+ cos( -x);244644(2)化简 .sin()2sincos2sinsincos()αβαβαβαβ【解析】(1) sin( -x)+ cos( -x)= [ sin( -x)+ cos( -x)]= [cos sin( -x)+sin cos( -x)]= sin( -x).2446442212432422343422712考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2) = = = =tan(β-α).sin()2sincos2sinsincos()αβαβαβαβsincoscossin2sincos2sinsincoscossinsinαβαβαβαβαβαβcossinsincossinsincoscosαβαβαβαβsin()cos()βαβα考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型2有条件的三角函数式的求值 例2已知α,β∈( ,π),sin(α+β)=- ,sin(β- )= ,求cos(α+ )的值.3435412134【分析】观察给定条件中角之间的联系,发现α+ =(α+β)-(β- ),但利用加法公式时,还需确定另两个三角函数式的符号与数值.44【解析】∵α,β∈( ,π),α+β∈( ,2π),由sin(α+β)=- ,知cos(α+β)= ,∵β- ∈( , ),由sin(β- )= ,知cos(β- )=- ,343235454234412134513考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选cos(α+ )=cos[(α+β)-(β- )]=cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- )= ×(- )+(- )× =- .【点评】此题涉及三角函数式的联系观点,寻找角之间的联系,并运用变换思想转换之;在变换过程中运算及判断符号能力是关键;此题最可能出现的错误就是符号错误而导致运算出错.4444455133512135665考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练2设sin( +θ)= ,求cos4θ.413【解析】sin2θ=-cos( +2θ)=2sin2( +θ)-1=- ,cos4θ=1-2sin22θ=1-2×(- )2=- .2479791781考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型3已知三角函数值求角 例3如右图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆交于A、B两点.已知A、B的横坐标分别为 、 ,求α+2β的值.210255考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【分析】从给定的条件可知锐角α、β的三角函数值,为了求α+2β的值,需要转化为三角函数,关键是取哪一类的三角函数,取正弦函数可能会出现多值,因此取余弦或正切均可.【解析】由已知条件及三角函数的定义可知,cosα= ,cosβ= .因为α为锐角,故sinα0,从而sinα= = .21025521cosα7210同理可得sinβ= .因此tanα=7,tanβ= .5512考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选即tan(α+β)= = =-3.tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]= =-1.又0α ,0β ,故0α+2β ,从而由tan(α+2β)=-1得α+2β= π.【点评】这里提供一种思路是利用正切公式来探求角的大小,也可以通过余弦来探求,在求解过程中始终在关注角的范围,以便确定三tantan1tantanαβαβ172117213211(3)2223234角函数值的符号,这是三角函数题最基本的思维方式.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练3已知cosα=- ,cos(α+β)= ,α∈(π, ),α+β∈( ,2π),求β.1213172263232【解析】∵α∈(π, ),cosα=- ,∴sinα=- ,又∵α+β∈( ,2π),cos(α+β)= ,∴sin(α+β)=- ,cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=- ,得β= .321213513321722672262234考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型4有关三角函数求值的综合应用 例4设f(x)= sin2x( -tan )+ cos2x,若f(x)= ,求钝角x的值.【分析】面对复杂的三角函数式,首先要化简,这里有三种函数,三种角,因此要统一函数,化切为弦,在化简过程中不断发现三角函数的代数结构,运用相应的三角公式一步一步地化简为正弦型函数,在解三角方程中,要注意它的多解性,注意题目只要寻找其中的一个钝角.121tan2x2x3212考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【解析】f(x)= sin2x + cos2x=sinxcosx+ cos2x= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),又f(x)= ,所以2x+ =2kπ+ 或2x+ =2kπ+ ,(k∈Z)1222cossin22sincos22xxxx3232123231236356考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选x=kπ- 或x=kπ+ ,而x为钝角,所以x= .【点评】此题自然要求学生具有化简与变换思想,而且要对三角公式的基本结构比较熟悉,逆用公式是基本的思维,合一变换在化简中也起到非常重要作用.1241112考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练4已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a的最大值为1,求常数a的值. 66