2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：2.5函数的奇偶性、周期性(第1课时)

第二章函数考点搜索●奇函数、偶函数的概念●周期函数●判断函数的奇偶性的一般方法●函数奇偶性的应用●奇偶性、周期性与单调性在不等式中的运用2.5函数的奇偶性、周期性高考猜想函数的奇偶性与周期性是高考常考内容之一.可能单独考查，如判断奇偶性、奇偶性的应用，由解析式求最小正周期，由最小正周期确定解析式中相关字母的值及周期性的应用等，也可能与函数的其他性质综合考查；考试题型可能是客观题和基础题，也可能是难度较大的综合题.一、奇(偶)函数的定义及图象特征1.若f(x)的定义域①_____________，且f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),则函数f(x)叫做②______(或③_______).2.奇函数的图象关于④_____对称，偶函数的图象关于⑤_____对称，反之亦然.二、奇(偶)函数的性质1.若f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=⑥____.关于原点对称偶函数奇函数原点y轴02.若f(x)为偶函数，则f(x)=⑦_______，反之亦然.3.在定义域的公共部分，两奇函数的积(或商)为⑧____函数；两偶函数的积(或商)为⑨____函数；一奇一偶函数的积(或商)为⑩____函数；两奇函数(或两偶函数)的和、差为11____函数(或12____函数).三、函数的周期性f(|x|)偶偶奇奇奇1.如果存在一个非零常数T，使得对于y=f(x)定义域内的每一个x值13_____________都有成立，那么y=f(x)叫做周期函数，T叫做y=f(x)的一个周期，nT(n∈Z)均是该函数的周期，我们把周期中的14__________叫做函数的最小正周期.2.若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)，其中a＞0，则f(x)的最小正周期为15___.f(x+T)=f(x)最小正数2a盘点指南：①关于原点对称；②偶函数；③奇函数；④原点；⑤y轴；⑥0;⑦f(|x|);⑧偶；⑨偶；⑩奇；11奇；12偶；13f(x+T)=f(x);14最小正数；152a1.若是奇函数，则a=___.解法1：f(-x)=-f(x)故a=.解法2：f(-1)+f(1)=0a=.a-xfx121)(21a,-a--xfxx-x212121)(,---aa--a-xxxxxx12122112)121(21221212.若函数f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-5π,3α］为偶函数，其中θ∈(0,π)，则α-θ的值是____.解：函数f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-5π,3α］为偶函数，其中θ∈(0,π)2α-5π+3α=0,θ=kπ+(k∈Z)α=π,θ=α-θ=.22223.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=，若f(1)=-5,则f［f(5)］=_____.解：由f(x+2)=,得f(x+4)==f(x).所以f(5)=f(1)=-5，则f［f(5)］=f(-5)=f(-1)==.)(1xf)(1xf)2(1xf)21(1f51-51-1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(x-1)·;(2)f(x)=;题型1函数奇偶性的判断第一课时-xx1122)1(lg2|-|x--x(3)f(x)=;(4)f(x)=;(5)f(x)=;(6)f(x)=解：(1)≥0，得定义域为［-1，1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.0)(0)(22x-xxxxx1122-x-xxxa)1(log2xxxx-cossin1cossin1-xx11(2)由得x∈(-1，0)∪(0，1).这时，f(x)=.显然，f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(3)当x＜0时，-x＞0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);当x＞0时，-x＜0，则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).综上，f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.,|-|x--x022012-x-x-x---x)1(lg2)2()1(lg22(4)由x2=1x=±1.此时，f(x)=0，x=±1.所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(5)|x|≥-x+x0f(x)=loga(+x)的定义域是R.又f(-x)+f(x)=loga［-x］+loga(+x)=0,所以f(x)=loga(+x)是奇函数.(6)因为x=时，1+sinx+cosx=2;x=-时，1+sinx+cosx=0，010122-x-x21x21x21x21x21x)(-12x22所以f(x)=的定义域不对称，故f(x)=是非奇非偶函数.点评：利用定义法判断函数的奇偶性的要点是：①判断定义域是不是关于原点对称.若不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；②比较f(-x)与f(x)是相等还是相反关系，有些函数有时须化简后才可判断.注意还有一类函数既是奇函数，也是偶函数，如第(4)小题中的函数.xxxx-cossin1cossin1xxxx-cossin1cossin1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=;(2)f(x)=;(3)f(x)=|x+1|-|x-1|;(4)f(x)=.解：(1)函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)，且f(x)+f(-x)==0，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.拓展练习拓展练习11log2xx-)21121(-xx-xx-1111log11log22-x-x-xx-(2)函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，f(-x)=所以f(x)为偶函数，(3)因为f(x)的定义域为R，且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)，所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.f(x).)-x()-(-x)-(-x)--x(xxxxx-x211211222122122121121(4)f(x)的定义域为{1}，关于原点不对称，所以f(x)是非奇非偶函数.2.已知f(x)=ax3+bsinx+2(ab≠0)，若f(5)=5，则f(-5)=___.解：由f(x)=ax3+bsinx+2，得f(x)-2=ax3+bsinx为奇函数，又f(5)-2=3，所以f(-5)-2=-3，即得f(-5)=-1.点评：定义域为R的非奇非偶函数f(x)可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和.在已知f(a)=g(a)+h(a)的情况下，则f(-a)=-g(a)+h(a)，可得出f(-a)=2h(a)-f(a).题型2利用函数的奇偶性求函数值3.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0恒成立，求k的取值范围.题型3函数奇偶性质的应用1021bab-1221xxa-1211421a--a-解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即，所以f(x)=.又由f(1)=-f(-1)，知，解得a=2.(2)由(1)知f(x)=，易知f(x)在(-∞，+∞)上为减函数.又因为f(x)是奇函数，所以f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0等价于f(t2-2t)＜-f(2t2-k)=f(k-2t2)，因为f(x)为减函数，由上式推得t2-2t＞k-2t2.即对一切t∈R有3t2-2t-k＞0恒成立，从而判别式Δ=4+12k＜0，解得k＜-.所以k的取值范围为(-∞，-).1212122211xxx--3131点评：若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，对定义域上任一非零自变量t，都有f(-t)=-f(t)，利用这两个性质常用来解决含参奇函数问题.设定义在［-2，2］上的偶函数f(x)在区间［0，2］上单调递减，若f(1-m)＜f(m)，求实数m的取值范围.解:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|)，所以不等式f(1-m)＜f(m)f(|1-m|)＜f(|m|).又当x∈［0，2］时，f(x)是减函数，所以解得-1≤m＜.故实数m的取值范围是［-1，).拓展练习拓展练习,m--m-|m|-m||22212121211.判定函数奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析f(-x)与f(x)的关系，必要时可对函数解析式进行化简、变形.2.判定或证明函数的奇偶性，必须以定义为依据，不能取特殊值推断.若说明一个函数不具有奇偶性，只需举出反例就可以.3.分析函数的奇偶性，有时可通过其等价形式：f(-x)±f(x)=0或f(-x)f(x)=±1(f(x)≠0)进行处理.