《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件：专题研究 定值、定点与存在性问题

专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题研究三定值、定点与存在性问题专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例1(2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42，又|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋640.由求根公式，得x1＋x2＝8－2bkk2，①x1x2＝b2k2.②因为x轴是∠PBQ的角平分线，专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研所以y1x1＋1＝－y2x2＋1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①，②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0.∴k＝－b，此时Δ0.∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．【答案】(1)y2＝8x(2)恒过定点(1,0)专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究1定值、定点问题是指曲线变化或参数值变化时，某一个量不变或某一个点不变，解决的方法都是用参数把有关量表示出来，进行化简变形得出要求的定值．这类问题考查的是代数运算能力．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题1(2012·福建)如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝12.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因为e＝12，即ca＝12，所以c＝1.所以b＝a2－c2＝3.故椭圆E的方程是x24＋y23＝1.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)由y＝kx＋m，x24＋y23＝1，消去y，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－4km4k2＋3＝－4km，y0＝kx0＋m＝3m，所以P(－4km，3m)．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研由x＝4，y＝kx＋m，得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．设M(x1,0)，则MP→·MQ→＝0对满足(*)式的m，k恒成立．因为MP→＝(－4km－x1，3m)，MQ→＝(4－x1,4k＋m)．由MP→·MQ→＝0，得－16km＋4kx1m－4x1＋x21＋12km＋3＝0.整理，得(4x1－4)km＋x21－4x1＋3＝0.(**)专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以4x1－4＝0，x21－4x1＋3＝0，解得x1＝1.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.【答案】(1)x24＋y23＝1(2)存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例2(2013·安徽)设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．解析(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝14，解得a2＝58.故椭圆E的方程为8x25＋8y23＝1.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝2a2－1.由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝y0x0＋c，直线F2P的斜率kF2P＝y0x0－c.故直线F2P的方程为y＝y0x0－c(x－c)．当x＝0时，y＝cy0c－x0，即点Q坐标为(0，cy0c－x0)．因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝y0c－x0.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝y0x0＋c·y0c－x0＝－1.化简得y20＝x20－(2a2－1)．①将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．【答案】(1)8x25＋8y23＝1(2)点P在定直线x＋y＝1上专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题2(2014·山西四校联考)已知F1、F2是椭圆x22＋y24＝1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足PF1→·PF2→＝1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．(1)求P点坐标；(2)求证：直线AB的斜率为定值；(3)求△PAB面积的最大值．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】(1)由题意，F1(0，2)，F2(0，－2)，设P(x0，y0)(x00，y00)，则PF1→＝(－x0，2－y0)，PF2→＝(－x0，－2－y0)．∴PF1→·PF2→＝x20－(2－y20)＝1.∵P(x0，y0)在椭圆x22＋y24＝1上，∴x202＋y204＝1，∴x20＝4－y202，从而4－y202－(2－y20)＝1，得y0＝2，易知x0＝1.∴点P的坐标为(1，2)．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在．设直线BP的斜率为k(k0)，则直线BP的方程为y－2＝k(x－1)．由y－2＝kx－1，x22＋y24＝1，消去y，得(2＋k2)x2＋2k(2－k)x＋(2－k)2－4＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则1＋xB＝2kk－22＋k2，xB＝2kk－22＋k2－1＝k2－22k－22＋k2.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研同理可得xA＝k2＋22k－22＋k2.∴xA－xB＝42k2＋k2，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝8k2＋k2.∴kAB＝yA－yBxA－xB＝2为定值．(3)由(2)可设直线AB的方程为y＝2x＋m.联立方程，得y＝2x＋m，x22＋y24＝1，消去y，得4x2＋22mx＋m2－4＝0.由Δ＝(22m)2－16(m2－4)0，得－22m22.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研易知点P到直线AB的距离为d＝|m|3，|AB|＝4－12m2·3，∴S△PAB＝12|AB|·d＝124－12m2·3·|m|3＝18m2－m2＋8≤18m2－m2＋822＝2，当且仅当m＝±2时取等号，满足m∈(－22，22)．∴△PAB面积的最大值为2.【答案】(1)P(1，2)(2)kAB＝2(3)2专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例3(2013·北京)已知A，B，C是椭圆W：x24＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】(1)椭圆W：x24＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m2＝1，即m＝±32.所以菱形OABC的面积是12|OB|·|AC|＝12×2×2|m|＝3.(2)四边形OABC不可能为菱形，理由如下：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研由x2＋4y2＝4，y＝kx＋m消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x22＝－4km1＋4k2，y1＋y22＝k·x1＋x22＋m＝m1＋4k2.所以AC的中点为M(－4km1＋4k2，m1＋4k2)．因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－14k.因为k·(－14k)≠－1，所以AC与OB不垂直．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形AOBC不可能是菱形．【答案】(1)3(2)略专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题3已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x3－242y－230－422(1)求C1、C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M、N，且满足OM→⊥ON→？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，则有y2x＝2p(x≠0)，据此验证四个点知(3，－23)、(4，－4)在抛物线上，易求得C2的标准方程为y2＝4x.设C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，把点(－2,0)、(2，22)代入得4a2＝1，2a2＋12b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.所以C1的标准方程为x24＋y2＝1.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)．由x24＋y2＝1，y＝kx－1消去y并整理，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0.于是x1＋x2＝8k21＋4k2，x1x2＝4k2－11＋4k2.①专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，即y1y2＝k2[4k2－11＋4k2－8k21＋4k2＋1]＝－3k21＋4k2.②由OM→⊥ON→，即OM→·ON→＝0，得x1x2＋y1y2＝0.(*)将①②代入(*)式，得4k2－11＋4k2－3k21＋4k2＝k2－41＋4k2＝0，解得k＝±2.所以存在直线l满足条件，且l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.专题讲解课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【答案】(1