如何施救药物中毒

数学建模南华大学数学建模协会会长：高立刚学号：20144390123如何施救药物中毒摘要本文就生活中如何施救药物中毒的问题给予方案予以研究。同时本文就采用活性炭吸附法和血液透析法治疗药物中毒的血液中药量的变化进行研究。通过对问题的分析和合理的假设，建立了基于房室模型的微分方程的数学模型,根据题目实际情况，得到相关数据，并MATLAB软件进行相关的方程求解及画图可以得到较为准确的结果。其中，采用活性炭吸附法，施救后药量最大值出现在服药约5小时后，而远低于致命水平，所以采用活性炭吸附可以对病人进行很好的医治。而采用体外透析法，血液系统的药量下降迅速，医治效果明显；但是体外透析有一定危险性，是否采用这种方法，医生应综合考虑并征求家属及病人意见。通过对具体问题的求解，可以利用这个模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量，以此给医生治疗提供依据，提高治疗效率。关键词：微分方程模型房室模型活性炭吸附半衰期一．问题重述一天夜晚，你作为见习医生正在医院内科急诊室值班，两位家长带着一个孩子急匆匆进来，诉说两小时前孩子一口气误吞下11片治疗哮喘病的、剂量为每片100mg的氨茶碱片，已经出现呕吐、头晕等不良症状。按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100~200mg，儿童是3~5mg/kg，如果过量服用，可使血药浓度（单位血液容积中的药量）过高，当血药溶度达到100g/ml时，会出现严重中毒，达到200g/ml则可以致命[67]。作为一位医生你清楚地知道，由于孩子服药是在两小时前，现在药物已经从胃进入肠道，无法再用刺激呕吐的方法排除。当前需要作出判断的是，孩子的血药浓度会不会达到100g/ml甚至200g/ml，如果达到，则临床上应采用紧急方案来救治孩子；如果没有达到，临床上应该采用何种方案来救治孩子。二．问题调查与分析人体服用一定量的药物后，血药浓度与人体的血液总量有关。一般来说，血液总量约为体重的7%~8%，即体重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液。目测孩子体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml。由此，血液系统中的血药浓度与药量之间可以互相转换。药物口服后迅速进入肠道，再由胃肠道的外壁进入血液循环系统，被血液吸收。胃肠道中药物的转移率，即血液系统的吸收率，一般与胃肠道中的药物成正比。药物在被血液吸收的同时，又通过代谢作用由肾脏排出体外，排除率一般与血液中的药量成正比。如果认为整个血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立所谓一室模型。血液系统对药物的吸收率和排除率可以由半衰期确定，从药品说明书可知，氨茶碱吸收的半衰期约5h，排除的半衰期约6h。如果血药浓度达到危险的水平，临床上施救的一种方法是采用口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍，另一种方法是进行体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证，建议尽量少用。三．问题假设1.胃肠道中药物向血液系统的转移率与药量x(t)成正比，比例系数记作（0），总剂量1100mg的药物在t=0瞬间进入胃肠道。2.血液系统中药物的排除率与药量y(t)成正比，比例系数记作（0），t=0时血液中无药物。3.氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h。4.孩子的血液总量为2000ml。四．符号说明x(t):胃肠道中药量；y(t):血液系统中药量；z(t):采取相应措施后，血液系统药量；:x(t)下降的速度与x(t)的比例系数；：y(t)减少的速度与y(t)的比例系数；五．模型建立与求解5.1模型的建立根据假设对胃肠道中药量x(t)和血液系统中药量y(t)建立如下模型。由假设1，x(0)=1100mg,随着药物从胃肠道向血液系统的转移，x(t)下降的速度与x(t)本身成正比（比例系数0），所以x(t)满足微分方程,(0)1100dxxxdt（1）由假设2，y(0)=0，药物从胃肠道向血液系统的转移相当于血液系统对药物的吸收，y(t)由于吸收作用而增长的速度是x，由于排除而减少的速度与y(t)本身成正比（比例系数0），所以y(t)满足微分方程,(0)0dyxyydt（2）方程（1），（2）中的参数和可由假设3中的半衰期确定。5.2模型的求解微分方程（1）是可分离变量方程，容易得到()1100txte（3）表明胃肠道中的药量x(t)随时间单调减少并趋于0。为了确定，利用药物吸收3的半衰期为5h，即5(5)1100(0)/21100/2,xex得=(In2)/5=0.1386（1/h）。将（3）代入方程（2），得到一阶线性微分方程，求解得1100()()ttytee（4）表明血液系统中的药量y(t)随时间先增后减并趋于0。为了根据药物排除的半衰期为6h来确定，考虑血液系统只对药物进行排除的情况，这时y(t)满足方程dyydt，若设在某时刻有()ya，则()(),tytaet。利用(6)/2ya，可得=（In2）/6=0.1155（1/h）。将=0.1386和=0.1155代入（3），（4），得（t的单位：h；x，y的单位：mg）0.1386()1100txte（5）0.11550.1386()6600()ttytee（6）5.3结果分析用MATLAB软件对（5），（6）作图，得图1.图1胃肠道中药量x(t)和血液系统中药量y(t)根据假设4，孩子的血液总量为2000ml，出现严重中毒的血药浓度100/gml和致命的血药浓度200/gml分别相当于血液中药量y达到200mg和400mg。由图1看出，药量y在约2h达到200mg，即孩子到达医院时已经出现严重中毒；如不及时施救，药量y将在约5h（到医院后3h）达到400mg。由（6）容易精确地算出孩子到达医院时血液中药量y(2)=236.5mg，而计算药量达到400mg的时间（记作1t），则需要解非线性方程110.11550.13866600()400ttee，用MATLAB软件计算可以得到1t=4.87h。由图1还可以看出，血液中药量y(t)达到最大值的时间约在t=8h，即到达医院后6h，其精确值可由方程（2）或解（4）计算，记作2t，2(1/6)Int=7.89h，且2()yt442.1mg。六.解决方案根据模型计算的结果，如不及时施救，孩子会有生命危险。根据调查，如采用口服活性炭来吸附药物的办法施救，药物的排除率可增加到的2倍，即0510152025020040060080010001200x(t)y(t)t/hx,y/mg0.2310。让我们计算一下，采用这种施救方案血液中药量y(t)的变化情况。设孩子到达医院时刻（t=2）就开始施救，前面已经算出y(2)=236.5,由（2），（3），新的模型为（血液中药量记作z(t)）,2,1100,(2)236.5tdzxxtxezdt（7）仍是一阶线性微分方程，只不过初始时刻为t=2，当=0.1386（不变）而=0.2310时，（7）的解为0.13860.2310()16501609.5,2ttzteet（8）用MATLAB软件对（8）作图，如图2.图2施救后血液系统中药量z(t)（活性炭吸附法）由图2可看出，施救后血液中药量z(t)达到最大值的时间约在t=5h，即到达医院施救后3h，其精确值可由（8）算出，记作3t，3t=5.26h，且3()zt=318.4mg，远低于y(t)的最大值和致命水平。图2还表明，虽然采用了口服活性炭来吸附药物的办法施救，血液中药量z(t)仍有一段时间在上升，说明用这种方法药物的排除率增加还不够大。不妨计算一下，如果要使z(t)在施救后（2t）立即下降，排除率至少应该多大。0510152025020040060080010001200x(t)y(t)z(t)t/hx,y,z/mgz(t)在t=2取得极大值，相当于t=2时（7）式满足22()0ttdzxzdt（9）由（5）算出(2)833.7x，再利用前面已有的(2)236.5z和0.1386，立即得到0.4885，约为原来（人体自身0.1155）的4.2倍。如果采用体外血液透析的办法，药物排除率可增加到0.115560.693，血液中药量下降更快，根据此时的值重新求解（7）：0.13860.6930()275112.3,2ttzteet（10）并用MATLAB软件作图：图3施救后血液系统中药量z(t)(体外透析法)由图3可看出，z(t)在进行透析后，药量下降速度很快，说明用这种方法药物的排除率增加大；但是体外透析存在一定的危险性，所以临床上究竟是否需要采用这种方法，应由医生综合考虑并征求病人和家属意见后确定。0510152025020040060080010001200x(t)y(t)z(t)t/hx,y,z/mg七．模型的评价本模型建立在不受任何外界影响下胃肠道中和血液系统中的药量浓度，如果还有其他因素影响，此模型就不是那么的准确了。八．模型的推广利用这个模型可以确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量，以此给医生治疗提供依据，提高治疗效率。九．参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.4版.北京：高等教育出版社，2011：9-13[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型习题参考解答.4版.北京：高等教育出版社，2011：1-2[3]SelcoJI,BeeryJL.SavingaDrugPoisoninngVictim,UMAPILAPModules,2000.[4]十．附录图1代码：t=[0:0.01:25];x=1100.*exp(-0.1386.*t);y=6600.*(exp(-0.1155.*t)-exp(-0.1386.*t));plot(t,x,'-b',t,y,'-b')gridon;text(4,650,'x(t)');text(3,300,'y(t)');xlabel('t/h');ylabel('x,y/mg')图2代码：t=[0:0.01:25];x=1100.*exp(-0.1386.*t);y=6600.*(exp(-0.1155.*t)-exp(-0.1386.*t));z=1650.*exp(-0.1386.*t)-1609.5.*exp(-0.2310.*t);plot(t,x,'-b',t,y,'-b',t,z,'-b');gridon;text(4,650,'x(t)');text(10,410,'y(t)');text(7,250,'z(t)');xlabel('t/h');ylabel('x,y,z/mg')图3代码：t=[0:0.01:25];x=1100.*exp(-0.1386.*t);y=6600.*(exp(-0.1155.*t)-exp(-0.1386.*t));z=275.*exp(-0.1386.*t)+112.3.*exp(-0.6930.*t);plot(t,x,'-b',t,y,'-b',t,z,'-b');gridon;text(4,650,'x(t)');text(10,410,'y(t)');text(7,150,'z(t)');xlabel('t/h');ylabel('x,y,z/mg')