实际问题与二元一次方程组

实际问题与二元一次方程组编稿：陈琳琳审稿：张扬责编：孙景艳目标认知学习目标：1．了解应用题的几种基本题型；2．掌握列方程组解应用题的一般步骤；3．探索事物之间的数字关系，建立方程模型；4．通过实践和探索，运用二元一次方程组解决有关实际问题.重点：在解答应用题时，能建立正确的方程模型.难点：二元一次方程组在应用题中的灵活运用.知识要点梳理知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.要点诠释：(1)寻找等量关系的方法有：①画出示意图分析；②列表分析；③信息的分类处理等等．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．(4)最后的结果必须使实际问题有意义．知识点二：列方程解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段图便于理解、分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；速度＝；时间＝。(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解、分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。(3)航行问题:①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2.工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3.浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.4.教育储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利息的税款叫做利息税。(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。④税后利息＝利息×(1－利息税率)⑤年利率＝月利率×12⑥月利率＝年利率×。注意：免税利息=利息5.销售中的盈亏问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。6.优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点；比较几种方案得出最佳方案。7.和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.9.增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)n＝增长后的量；原量×(1－减少率)n＝减少后的量.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.解答步骤简记为：问题方程组解答(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。规律方法指导1．实际问题主要包括：（1）行程问题；（2）工程问题；（3）产品配套问题；（4）利润问题；（5）银行利息问题等等。2．注意问题：（1）行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题；（2）工程问题注意总的工程量是由几部分组成的；（3）利润问题中注意利润和利息的算法；（4）零件配套问题对零件的配套关系容易弄混。经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决商品问题1．某城区中学5月份开展了与农村偏远山区的学校“手拉手”的活动.小强同学积极响应学校的号召，用自己的零花钱买了圆珠笔和钢笔共8支，准备送给偏远山区的同学，共用去了20元钱，其中圆珠笔每支1元，钢笔每支5元.你能算出小强同学买了圆珠笔和钢笔各多少支吗？思路点拨：本题第一个相等关系是：圆珠笔和钢笔一共8支；第二个等量关系是：买圆珠笔和钢笔共用了20元钱.解析：设小强同学买了支圆珠笔，支钢笔.根据题意列方程组，解得答：小强同学买了5支圆珠笔，3支钢笔.总结升华：本题是按“数量”和“钱数”列出二元一次方程组.列方程(组)解实际问题的关键就是准确地找出等量关系，列方程(组)求解.举一反三：【变式1】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.解析：设每个篮球元，每个羽毛球元.根据题意列方程组，解得答：每个篮球20元，每个羽毛球2元.【变式2】(云南)在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：(1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？解析：(1)设A型洗衣机的售价为元，B型洗衣机的售价为元，则据题意，可列方程组解得∴A型洗衣机的售价为1100元，B型洗衣机的售价为1600元．(2)小李实际付款为：(元)；小王实际付款为：(元)．∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．类型二：列二元一次方程组解决行程问题2．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个等量关系：(1)相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米；(2)同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.解析：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组解这个方程组，得(千米)，(千米).答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：行程问题的几个关系式：路程＝速度×时间；；.相遇问题的等量关系：两者的路程和＝原相距的路程；追及问题的等量关系：两者的路程差＝原相距的路程.举一反三：【变式1】某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地.如果他以每小时30千米的速度行驶，就会迟到30分；如果他以每小时50千米的速度行驶，那么可以提前30分钟到达乙地.求从甲地到乙地规定的时间为多少？解析：设从甲地到乙地的距离为千米，从甲地到乙地的规定时间为小时.根据题意，得解方程组得答：从甲地到乙地规定的时间为2小时.【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。解析：船顺流速度＝静水中的速度＋水速船逆流速度＝静水中的速度－水速设船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时，则答：船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。类型三：列二元一次方程组解决方案决策问题3．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成.你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨:如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题.本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解析：方案一获利为：4500×140=630000(元).方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得解得所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.举一反三：【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？解析：(1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台。①购进甲、乙两种电视机②购进甲、丙两种电视机③购进乙、丙两种电视机(不合实际，舍去)故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台。(2)按方案①，获利150×25＋200×25＝8750元按方案②，获利150×35＋250×15＝9000元∴选择购进甲种35台和丙种15台。类型四：列二元一次方程组解决生产中的配套问题4．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解析：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.根据题意，列方程组得解方程组得答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.举一反三：【变式1】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产