利用导数判断函数的单调性课件

导数与函数的单调性三、新课讲解:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:yxo11－1在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即0时,函数y=f(x)在区间(2,+∞)内为增函数.y在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即0时,函数y=f(x)在区间(-∞,2)内为减函数.yaby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf)(xf)(xf例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:.22)(xxf由2x-20,解得x1,因此,当时,f(x)是增函数;),1(x令2x-20,解得x1,因此,当时,f(x)是减函数.)1,(x例2:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当或时,f(x)是增函数.),3(x)1,(x令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当时,f(x)是减函数.)3,1(x故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.10331yx而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的.（一）利用导数讨论函数单调性的步骤:(1):求导数).(xf(2)解不等式0得f(x)的单调递增区间;解不等式0得f(x)的单调递减区间.)(xf)(xf练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.答案:递增区间是和;递减区间是(-2,1).)2,(),1(四、综合应用:例1:确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函数的定义域是R,.cos21)(xxf令,解得0cos21x).(322322Zkkxk令,解得0cos21x).(342322Zkkxk因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:);)(322,322(Zkkk).)(342,322(Zkkk解:函数的定义域是(-1,+∞),.)1(211121)(xxxxf(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1由即得x-1或x1.,0)1(210)(xxxf注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);由解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).0)(xf说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.练习1:确定函数的单调区间.),0[,100)(xxxxf).0()100(250)100()100(21)(22xxxxxxxxxf解:令注意到故f(x)的递增区间是(0,100).;10000250,00)(xxxxxf同理由得x100,故f(x)的递减区间是(100,+∞).,0)(xf说明:(1)由于f(x)在x=0处连续,所以递增区间可以扩大到[0,100)(或[0,100]).(2)虽然在x=100处导数为零,但在写单调区间时,都可以把100包含在内.例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:.13)(2axxf若a0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.0)(xf若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.,01)(xf若a0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf故a0,其单调区间是:单调递增区间:).31,31(aa单调递减区间:和).,31()31,(aa五、小结:1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3.注意在某一区间内()0只是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.)(xf6.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x)时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上.4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义,证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.