利用导数探究函数的零点(上课用)

利用导数探究函数的零点问题一、知识回顾与巩固训练1、函数f(x)=x3-16x的零点为()A.(0,0),(4,0)B.0,4C.(-4,0),(0,0),(4,0)D.–4,0,42、xxxf1lg)(零点所在区间是（）.A.]1,0(B.]10,1(C.]100,10(D.),100(3.函数2)(xxf在下列区间是否存在零点（）（A）（-3，-1）；（B）（-1，2）；（C）（2，3）；（D）（3，4）。DＢＢ函数零点的定义：方程的根与函数的零点的关系一、知识回顾与巩固训练对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．思考：1、零点是不是点？2、零点是不是f(0)？一、知识回顾与巩固训练函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点．如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,但不满足f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点吗？一个重要结论：若函数y=f(x)在其定义域内的某个区间上是单调的，则f(x)在这个区间上至多有一个零点．函数)()()(xgxfxFy有零点方程0)()()(xgxfxF有实数根方程组)()(21xgyxfy有实数根函数)(1xfy与)(2xgy的图象有交点等价关系除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？二、能力提升1确定函数1096)(23xxxxf零点的个数x)1,(1(1,3)3),3(/y+0-0+y增函数Y极大值-6减函数Y极小值-10增函数-10XXYO13-6解：1096)(23xxxxf，)3)(1(39123)(2/xxxxxf令0)(xf,得3,121xx列出x,y/,y的对应值表如下：x)1,(1(1,3)3),3(/y+0-0+y增函数Y极大值-6减函数Y极小值-10增函数作出函数的1096)(23xxxxf草图可知，函数)(xf的图象与X轴仅有一个交点，则)(xf仅有一个零点。注意：本类型题的特点是找出函数)(xf的图象与X轴交点的情况，-10XYO13二、能力提升变式一：试讨论函数axxxxf1096)(23(Ra)零点的个数。分析：方法1：.直接模仿上面的解法，可得如与表格:x)1,(1(1,3)3),3(/y+0-0+y增函数ay极大值6减函数ay极小值10增函数然后再结合函数)(xf的图象与X轴的关系，确定分类讨论的标准，讨论极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X轴交点情况，得出如下结论：当010ay极小值即10a时没有1个交点；当010ay极小值即10a时仅有2个交点；当010ay极小值且06ay极大值即610a时有3个交点；当即06ay极大值6a时有2个交点；当06ay极大值即6a时有1个交点.二、能力提升方法2：构造函数1096)(23xxxxf与axg)(，利用前面的方法可得到函数)(xfy的图象，从两个函数图象的位置关系，可得：当)10,(a仅有1个零点；当10a有2个零点；当)6,10(a有3个零点；当6a时有2个零点；当),6(a仅有一个零点。-10)(xfyXYO13-6-10XXYO13-6变式二（方程问题）试讨论方程0109623axxx(Ra)解的情况。变式三（方程问题）若方程axxx109623在]31[，上有实数解，求a的取值范围。610a-10XXYO13-6变式二（方程问题）试讨论方程0109623axxx(Ra)解的情况。变式三（方程问题）若方程axxx109623在]31[，上有实数解，求a的取值范围。610a变式四（改变参数的位置）：若方程0923xaxx在[1，3]上有实数解，求a的取值范围。]10,6[a]3,1[,9923xxxxxxa思考：如何转化？方法一方法二方程092axx在[1，3]上有实数解变式五（把相等关系变成不等关系）：若不等式0923xaxx在[1，3]上恒成立，求a的取值范围。]6,(a分析：转化为]3,1[,9xxxa恒成立问题，即]3,1[,)9(minxxxa3、注意分类讨论的思想、函数与方程的思想、数形结合的思想的应用.2、解这类题的关键是利用导数对函数的单调性，函数的极值讨论.1、我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零点个数.几何画板演示解：易知该函数的定义域是R，)2(363)(2xxxxxf由0)(xf得，0x或2x当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：x)0,(0)2,0(2),2()(xf0－0)(xf↗a↘4a↗因此函数)(xf的极大值是,)0(af极小值是.4)2(af因此函数)(xf的极大值是,)0(af极小值是.4)2(af①当0a或04a，即0a或4a时，)(xf有一个零点；②当0a或04a，即0a或4a时，)(xf有两个零点；③当0a且04a，即40a时，)(xf有三个零点.函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零点个数.几何画板演示