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1利用导数研究函数的单调性（2）一．选择题（共9小题）1．（2014•宿州三模）设函数f（x）满足xf′（x）+f（x）=，f（e）=，则函数f（x）（）A．在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减B．在（0，+∞）上单调递增C．在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增D．在（0，+∞）上单调递减2．（2013•内江一模）函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2f′（2）﹣3x，则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f（1）D．不确定3．（2012•安徽模拟）已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（0，3]D．（0，2]4．（2010•安徽模拟）若函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上不是单调函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．①③B．②④C．②③D．③④5．（2004•湖南）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．6．f′（x）是f（x）的导函数，f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（）2A．B．C．D．7．（2014•河西区一模）已知函数，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．9．（2009•湖南）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共1小题）10．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数，则关于x的不等式的解集为_________．三．解答题（共9小题）11．（2014•湖南）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．312．（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．13．（2013•广东）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．14．（2011•陕西）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．15．（2011•湖南）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．4（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．16．（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．17．（2009•浙江）已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．18．（2009•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，a＞1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a＜5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有．519．（2003•天津）设a＞0，求函数f（x）=﹣ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．6利用导数研究函数的单调性（2）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2014•宿州三模）设函数f（x）满足xf′（x）+f（x）=，f（e）=，则函数f（x）（）A．在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减B．在（0，+∞）上单调递增C．在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增D．在（0，+∞）上单调递减考点：函数的单调性与导数的关系；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有专题：导数的概念及应用．分析：首先求出函数f（x），再求导，判断函数的单调性解答：解：∵[x（f（x）]′=xf′（x）+f（x），∴[xf（x）]′==（+c）′∴xf（x）=+c∴f（x）=+∵f（e）=，∴=即c=∴f′（x）=﹣=﹣7=﹣＜0∴f（x）在（0，+∞）为减函数．故选：D．点评：本题主要考查了导数和函数的单调性的关系，关键是求出函数f（x），属于中档题．2．（2013•内江一模）函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2f′（2）﹣3x，则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f（1）D．不确定考点：函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．菁优网版权所有专题：导数的概念及应用．分析：因为函数关系式中的f′（2）为常数，先求出导函数f′（x）令x=2求出f′（2），即可得到f（x），把1和﹣1代入即可比较f（﹣1）与f（1）的大小关系．解答：解：f′（2）是常数，∴f′（x）=2xf′（2）﹣3⇒f′（2）=2×2f′（2）﹣3⇒f′（2）=1，∴f（x）=x2﹣3x，故f（1）=1﹣3=﹣2，f（﹣1）=1+3=4．故选B．8点评：考查学生导数的运算，以及已知自变量求函数值的能力，属于基础题．3．（2012•安徽模拟）已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[2，+∞）C．（0，3]D．（0，2]考点：函数的单调性与导数的关系．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2﹣h（﹣x）=，由此可得g（x）=x+．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2﹣（）=由此可得=x+，对g（x）求导数，得g'（x）=1﹣∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g'（x）=1﹣≤0在区间（0，2]恒成立，即≥1，可得x2≤a+1∴x2的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3故选A9点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．4．（2010•安徽模拟）若函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上不是单调函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．①③B．②④C．②③D．③④考点：函数的单调性与导数的关系；函数的图象．菁优网版权所有专题：分析法．分析：根据函数的增长快慢与导数值的关系，对图象逐一分析可得答案．解答：解：①中函数增长的越来越快说明函数的导数值越来越大，故导函数单调增②中函数增长的越来越慢说明函数的导数值越来越小，故导函数单调减③中函数增长相同，导数值等于常数，无单调性④中函数增长的先快后慢，说明导数值先大后小，故导函数不是单调函数故选D．10点评：本题主要考查函数的增加快慢和导数值的变化之间的关系．属基础题．5．（2004•湖南）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．菁优网版权所有专题：数形结合法．分析：先判断函数f（x）的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案．解答：解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件故选A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．6．f′（x）是f（x）的导函数，f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（）11A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．菁优网版权所有专题：计算题．分析：首先观察函数的图象，y=f′（x）与x轴的交点即为f（x）的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判断．解答：解：由图可以看出函数y=f′（x）的图象是一个二次函数的图象，在a与b之间，导函数的值是先增大后减小故在a与b之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小因此故排除答案A、B、C，故选D．点评：会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌握函数与其导数的关系．7．（2014•河西区一模）已知函数，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可以根据函数，求出x在[，1]上的解析式，已知在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围；13解答：解：在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x＞0）g′（x）=﹣a=，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，∴，解得，≤a＜①设＜x＜1，可得1＜＜3，∴=2ln，此时g（x）=﹣2lnx﹣ax，g′（x）=，若g′（x）＞0，可得x＜＜0，g（x）为增函数若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，在[，1]上有一个交点，则，解得0＜a≤6ln3②综上①②可得≤a＜；②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx﹣ax＞0，没有零点，不满足在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，综上：≤a＜；故选A；14点评：此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，难度比较大，需要排除a＜0时的情况，注意解方程的计算量比较大，注意学会如何分类讨论；8．（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．解答：解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒y'=f'（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0