2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第32讲 等差、等比数列的综合应用

掌握等差、等比数列的基本性质：如（１）“成对”和或积相等问题；（２）等差数列求和S2n-1与中项an；能灵活运用性质解决有关问题.如分组求和技巧、整体运算.总之，等差数列考性质，等比数列考定义。61.等差数列的性质(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+=n2+(a1-)n是关于n的二次函数，且常数项为0.(2)若公差①，则为递增等差数列，若公差②,则为递减等差数列,若公差③,则为常数数列.(1)2nn2d2dd0d0d=07(3)当m+n=p+q时,则有④,特别地,当m+n=2p时，则有am+an=2ap.(4)若{an}是等差数列，则{kan}(k是非零常数)，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也成等差数列，而{aan}(a≠0)成等比数列；若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}是等差数列.(5)在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇=⑤;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶=⑥，S2n-1=(2n-1)·a中(这里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.am+an=ap+aqnda中8(6)若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn,且=f(n),则===f(2n-1).(7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有⑦之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有⑧之和.(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.nnABnnab(21)(21)nnnanb2121nnAB非负项非正项2.等比数列的性质(1)若数列是等比数列当m+n=p+q时，则有⑨,特别地，当m+n=2p时，则有am·an=ap2.(2)若{an}是等比数列，则{kan}成等比数列；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{}成等比数列;若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是⑩数列.当q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是常数数列0,它不是等比数列.am·an=ap·aqnnab等比na10(3)若a10,q1,则{an}为数列；若a10,q1,则{an}为数列;若a10,0q1,则{an}为递减数列；若a10,0q1，则{an}为递增数列；若q0,则{an}为摆动数列；若q=1,则{an}为数列.(4)当q≠１时,Sn=qn+=aqn+b,这里a+b=0，但a≠0，b≠0，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn判断数列{an}是否为等比数列.11递增12递减13常数11aq11aq11(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(6)在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶=；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶.(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.14qS奇1.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．32D．64【解析】由等差数列的性质知，a7＋a9＝a4＋a12，则a12＝16－1＝15.2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()A．12B．18C．24D．42【解析】因为{an}是等差数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，所以S6－S4＋S2＝2(S4－S2)，所以S6＝3S4－3S2＝30－6＝24.故选C.3.(2011·天津卷)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．110【解析】由题意得a27＝a3·a9，又公差d＝－2，所以(a3－8)2＝a3(a3－12)，所以a3＝16，则S10＝10a1＋a102＝10a3＋a82＝5(a3＋a3＋5d)＝110，故选D.4.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝30.【解析】由已知及等比数列{an}的性质知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n也成等比数列，从而(S2n－2)2＝2(14－S2n)，又Sn0，所以S2n＝6，于是(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)，即(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)，所以S4n＝30.5.(2011·浙江宁波)在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn.若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于2n.【解析】因为{an＋1}是等比数列，所以(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，即(2q＋1)2＝3(2q2＋1)，所以q＝1，则{an}是常数列，故Sn＝na1＝2n.一等差数列性质及应用【例1】(1)等差数列{an}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，求a99＋a100；(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n＋14n＋27，求a11b11的值．【解析】(1)将相邻两项和a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，a99＋a100分别记为b1，b2，b3，…，b50，可知{bn}成等差数列，此数列的公差d＝b10－b510－5＝b－a5，a99＋a100＝b50＝b5＋45d＝a＋b－a5×45＝9b－8a.(2)因为anbn＝2an2bn＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝a1＋a2n－12n－12b1＋b2n－12n－12＝S2n－1T2n－1，所以a11b11＝S21T21＝7×21＋14×21＋27＝43.【点评】运用性质须认真分析两项的项数和的规律，对于等差数列，若两项的项数和相等，则对应项的和也相等．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d0，满足S120，S130，求Sn达到最大值时对应的项数n的值．素材1【解析】因为S12＝a1＋a12×122＝6(a6＋a7)0，S13＝a1＋a13×132＝13a70，所以a60，a70，故当n＝6时，S6取最大值．二等比数列性质及应用【例2】(1)在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，求a7＋a8的值；(2)已知Tn是等比数列{an}的前n项的积，若a3a6a18是一个确定的常数a，求数列{Tn}中的常数项．【解析】(1)由等比数列性质可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，其公比q＝S4－S2S2＝6040＝32，则a7＋a8＝S8－S6＝S2q3＝40×(32)3＝135.(2)设{an}的公比为q，则a3a6a18＝(a1q2)(a1q5)(a1q17)＝(a1q8)3＝a39＝a，则a9＝a13.所以a1·a17＝a2·a16＝…＝a8·a10＝a29，所以T17＝a1a2…a16a17＝(a9)17＝a173为常数，故{Tn}中的常数项为T17＝a173.【点评】数列求值问题，首先应思考能否运用性质，应注意将问题化归为满足性质条件的问题，然后应用性质求解，这样简单实用．等比数列{an}满足an0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝n2.素材2【解析】因为a5·a2n－5＝22n(n≥3)，且{an}成等比数列，则a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝a5·a2n－5＝…＝22n＝a2n.令S＝log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1，则S＝log2a2n－1＋log2a2n－3＋…＋log2a1，所以2S＝log2[(a1·a2n－1)(a3·a2n－3)…(a2n－3·a3)(a2n－1·a1)]＝log2(22n)n.所以2S＝2n·n，故S＝n2.三等差、等比数列性质的综合应用【例3】(2011·淮南一中月考)设数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，且数列{an＋1－an}(n∈N*)是等差数列，{bn－2}是等比数列，求{an}和{bn}的通项公式．【分析】利用{an＋1－an}是等差数列，可用累加法求通项an，求通项bn只要求出数列{bn－2}的通项即可．【解析】由已知a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，d＝－1－(－2)＝1，所以an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d＝－2＋(n－1)×1＝n－3，即an－an－1＝n－4(n≥2)，故an－an－1＝n－4，an－1－an－2＝(n－1)－4，…a3－a2＝3－4，a2－a1＝2－4，以上各式左右分别相加得an－a1＝[2＋3＋…＋(n－1)＋n]－4(n－1)＝nn＋12－1－4n＋4.所以an＝12(n2－7n＋18)(n≥2)．当n＝1时，a1＝6也适合上式，所以an＝12(n2－7n＋18)．又b1－2＝4，b2－2＝2，所以q＝12，所以bn－2＝4·(12)n－1，所以bn＝2＋82n(n∈N*)．【点评】视“an＋1－an”、“bn－2”为整体先求之，而后求{an}、{bn}是整体思维，在数列中的体现应引起重视．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1、a3、a2成等差数列．(1)求公比q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn.当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．素材3【解析】(1)由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.因为a1≠0，所以2q2－q－1＝0，所以q＝1或－12.(2)若q＝1，则Sn＝2n＋nn－12·1＝n2＋3n2.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝n－1n＋220，故Snbn.若q＝－12，则Sn＝2n＋nn－12×(－12)＝－n2＋9n4.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－n－1n－104.故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Snbn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Snbn.备选例题(2010·泰州市质检)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若λan＋1an＋1≥λ对任意n≥2，n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】(1)将3anan－1＋an－an－1＝0，整理可得1an＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝13n－2(n≥2)．当n＝1时，a1＝1，也满足上式，所以{an}的通项公式为an＝13n－2.(2)若λan＋1an＋1≥λ恒成立，即λ3n－2＋3n＋1≥λ恒成立，整理得λ≤3n＋13n－23n－1.令cn＝3n＋13n－23n－1(n≥2)，所以cn＋1－cn＝3n＋43n＋13n－3n＋13n－23n－1＝3n＋13n－43nn－1(n≥2)．因为n≥2，所以上式大于零，即{cn}为单调递增数列，所以c2最小，且c2＝283.所以λ的取值范围为(－∞，283]．1.知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,Sn共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2.巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立“目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.