中国民航大学《概率论与数理统计》期末复习题及解答

中国民航大学《概率论与数理统计》期末复习题一、填空题1．设A与B是相互独立的随机事件，满足P(A)=0.3,P(BA)=0.7,则P(B)=.2.随机变量X)4,1(~N,随机变量Y服从参数2θ的指数分布,其概率密度为0,00,21)(21yyeyfyY而且X与Y的相关系数为21XY,则),cov(YX=.3．设离散型随机变量X的分布函数为xxxF3,13x2,522,0)(则随机变量X的分布律为。4.设随机变量X)1,0(~N,随机变量Y)(~2n,且X与Y是相互独立,令nYXT，则~2T分布.5.设总体X服从参数为λ的泊松分布,0为未知参数。),,,(21nXXX是总体X中抽取的一个样本，则参数λ的矩估计量ˆ=.二、选择题1．在某大学任意选出一名学生。令：A={选出的学生是男生}，B={选出的学生是三年级学生}，C={选出的学生是数学系的学生}，则当时，ABC=C成立。（A）数学系的学生都是三年级的男生（B）三年级的学生都是数学系的男生（C）该学校的男生都是数学系三年级的学生（D）三年级的男生都是数学系的学生2．设袋中有a只黑球，b只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（）（A）22)(bab（B）)1)(()1(bababb（C）11bab（D）bab3．设离散型随机变量X的分布律为),2,1(!}{kkckXPk其中0为常数，则c=（）（A）λe（B）λe（C）11λe（D）11λe4．设随机变量921,,,XXX相互独立的且同分布，而且),9,2,1(1,1iDXEXii令91iiXX，则对任意给定的0，由切比雪夫不等式直接可得（）（A）211}1{XP（B）211}9{XP（C）291}9{XP（D）211}191{XP5．设总体X),0(~2N,),,,(21nXXX是从中抽取的一个简单随机样本，则2的无偏估计量为（）（A）niiXn12211ˆ（B）niiXn1221ˆ（C）niiXn12211ˆ（D）niiXnn1222)1(ˆ三、设有两箱同种类零件,第一箱装有50件,其中10件为一等品;第二箱装有30件,其中18件为一等品,今从两箱中随意取出一箱,然从该箱取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样.求:(1)第一次取出的零件为一等品的概率;(2)在第一次取出的零件为一等品的条件下,第二次取出的也是一等品的概率.四、甲，乙两人进行比赛,规定若某人先赢得4局比赛的胜利得整场比赛的胜利.设在每局比赛中,甲，乙两人获胜的概率都是21,令X表示所需比赛的局数,求:(1)X的可能取值;（2）X的分布律;（3）E(X).五、向平面区域}0,40:),{(2xxyyxD内随机地投掷一点,即二维随机变量(X,Y)服从平面区域D上的均匀分布.(1)试求二维随机变量(X,Y)的联合密度函数;(2)点(X,Y)到y轴距离的概率密度函数;(3)设(X,Y)D,过点(X,Y)作y轴的平行线,设S为此平行线与x轴、y轴以及曲线24xy所围成的曲边梯形的面积,求E(S).六、设随机变量X与Y的分布律分别为X01Y01p1-1p1pp1-2p2p其中,101p,102p证明:如果X与Y不相关,则X与Y相互独立.七、假设一条自动生产线生产的产品的合格率为0.8,试用中心极限定理计算,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件?(已知,9015.0)29.1(,95.0)65.1(Φ其中)(x是正态分布)1,0(N的分布函数)八、设总体X服从区间),0(上的均匀分布,其中0为未知参数.),,,(21nXXX是从该总体中抽取的一个样本.(1)求未知参数的极大似然估计ˆ(2)求ˆ的概率密度函数;(3)判断ˆ是否为未知参数的无偏估计.九、某厂在所生产的汽车蓄电池的说明书上写明：使用寿命的标准差不超过0.9年,现随机地抽取了10只蓄电池,测得样本的标准差为1.2年,假定使用寿命服从正态分布),(2N,取显著性水平05.0,试检验81.0::81.0:2120HH概率论与数理统计期末复习题三(答案)一、填空题1)742)23)4)),1(nF5)Xˆ二、选择题1)A2)D3)D4)C5)B三、解:(1)设21}{，，次取到一等品第iiAi2,1iiBi，箱被挑出的是第由全概率公式)|()()|()()(2121111BAPBPBAPBPAP52301821501021(2)由条件概率定义及全概率公式得)()|()()|()()()()|(12212121112112APBAAPBPBAAPBPAPAAPAAP48557.0522930171821495091021四、解:(1)由题意知,X的可能取值为4,5,6,7(2)分布律为41221C5341221CC6351221CC7361221CC即3/52/53-2pX7654pX1/81/45/165/167654pX(3)169316571656415814XE五、解:(1)平面区域D的面积为20402316xdydxA所以(X,Y)的概率密度为DyxDyxyxf),(,0),(,163),((2)点YX,到y轴的距离的概率密度函数，即是分量X的边缘密度函数，当20x时)4(163163),(2402xXxdydyyxfxf所以，分量X的边缘密度函数为其它,020,)4(163)(2xxxfX(3)曲边梯形的面积为XxXXdydxS04032314而dxxfxxXXESEX)()314(31433dxxxx20234163)314(38六、证明:令}1{XA}1{YB则}0{XA}0{YB由于X与Y是不相关的，所以0YEXEXYE由题知1}1{pXPAPXE2}1{pYPBPYE所以21ppXYE而XY的取值只有0和1当1XY时)(}1,1{}1{ABPYXPXYPXYE)()(21BPAPpp所以A与B是相互独立的.由此可知A与B,A与B,A与B也是相互独立的.综上可知,X与Y是相互独立的.七、解:设这批产品至少要生产n件令niiXX1且nXXX,,,21独立同服从)8.0,1(b.所求为9.0}84.076.0{nXP所以}84.076.0{}84.076.0{nXnPnXP})8.01(8.08.084.0)8.01(8.08.0)8.01(8.08.076.0{nnnnnXnnnP9.01)1.0(2)1.0()1.0(nnn即95.0)1.0(n则65.01.0n解得25.2725.162n所以273minn则这批产品至少要生产273件.八解:(1)记),,,min(211nxxxx，),,,max(21)(nnxxxx由题意知,总体X的概率函数为其它,00,1)(xxf由于nxxx,,,021,等价于)1(0x,)(nx.则似然函数为nnniniixxxfL,0,11)()(111于是对于满足条件)(nx的任意有nnnxL)(11)(即)(L在)(nx时取到最大值nnx)(1,故的最大似然估计值为)(maxˆ1ininxx最大似然估计量为)(maxˆ1)(ininXX(2)X的密度函数为其它,00,1)(xxf则分布函数为xxxxxF,10,0,0)(因此)(maxˆ1)(ininXX的概率密度函数为其它,00,)()()(11ˆxnxxfxFnxfnn(3)由于1)()ˆ(0ˆnndxnxdxxxfEn故ˆ不是的无偏估计.九、解:检验假设81.0:81.0:2120HH则有题意知拒绝域为)1(1212022nSn这里:05.010n查表得325.3)9(295.0且222.1s81.020则325.31681.02.1110122022sn所以2不在拒绝域内，故接受0H注：若本题目中没有给出检验假设，通常我们给的假设是：.81.0:;81.0:2120HH然后再进行检验.