解的存在唯一性定理

解的存在唯一性定理和逐步逼近法内容提要一阶方程的初值问题利普希茨条件存在唯一性定理概念和定义定理1定理1的证明逐步逼近的思想定理2命题1命题2命题3命题4命题5一、概念与定义(,)dyfxydx1.一阶微分方程这里(,)fxy是定义在矩形域00:||,||Dxxayyb上的连续函数。问题：给定初值00()yxy，什么条件下解存在且唯一？？？2.利普希茨条件函数(,)fxy在矩形域00:||,||Dxxayyb上关于y满足利普希茨条件，如果存在常数0L使得不等式1212|(,)(,)|||fxyfxyLyy12(,),(,)xyxyD对于所有的都成立L其中称为利普希茨常数。二、存在唯一性定理=(,)(1)dyfxydx00:||,||Dxxayyb定理1(,)fxyDy如果在上连续且关于满足利普希茨条件，0(1)(),||yxxxh则方程存在唯一的连续解定义在上，连续且满足初值条件00()xy,min(,),max|(,)|xyDbhaMfxyM这里证明思路：5个步骤步骤1证明求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程步骤2用逐次迭代法构造一个连续的逐步逼近序列步骤3证明此逐步逼近序列一致收敛步骤4证明此收敛的极限函数为所求的初值问题的解步骤5证明连续解的唯一性命题1初值问题(1.1)等价于积分方程00(,)(1.2)xxyyftydt证明:()(1.1),yx若为的连续解则00()(,())()dxfxxdxxy取定积分得到对第一式从xx000()()(,())xxxxfxxdx00()(,())xxxyfxxdx即()(1.2)yx故为的连续解。00(,),(1.1)()dyfxydxyxy()(1.2),yx若为的连续解则有反之00()(,())xxxyfttdt(,),fxyD由于在上连续(,()),ftt从而连续故对上式两边求导,得()(,())dxfxxdx且00000()(,())xxxyfxxdxy()(1.1).yx即为的连续解现在取构造毕卡逐步逼近函数列如下00()xy00100()(,())xnnxxyfdxhxxh),2,1(n(1.3).)(,,)(000的常数值往往取方便但实际上为可任取一般来说连续函数yxx注00()xy命题200[,],()nnxxxhx对于所有和连续且满足0()(1.4)nxyb证明:(用数学归纳法，只在正半区证明，另半区类似)1n时0100()(,)xxxyfyd100()[,],xxxh显然在上连续且01)(yxdyfxx0),(0dyfxx),(000xxMMhb),min(Mbah),(),(yxfMaxMRyx12n故时命题成立,nk设时002()[,]kxxxh命题成立，即在上连续0()kxyb且时当1kndfyxkxxk))(,()(001(,),fxyD由在上连续性知00(,())[,]kfxxxxh在100,()[,]kxxxh上连续从而在上连续且01)(yxkdfkxx))(,(0dfxxk0))(,(0xxMMhb1,2nk即当时成立命题成立2综上，命题得证命题3.],[)}({00上一致收敛在函数序列hxxxn].,[),()(lim00hxxxxxnn记证明:考虑函数项级数)9.3(],,[,))()(()(00110hxxxxxxnnn它的前n项部分和为),())()(()()(110xxxxxSnnkkkn.)9.3()}({一致收敛性等价一致收敛性与级数于是xn对级数(3.9)的通项进行估计)()(01xxdfxx0))(,(00xxM)()(12xxdffxx0))(,())(,(01dLxx0)()(01dxMLxx0)(020)(2xxML,条件得到的其中第二个不等式是由Lipschitz条件由Lipschitz有不等式设对于正整数,n)()(1xxnn,)(!01nnxxnML条件有由时则当Lipschitzhxxx,00)()(1xxnndffxxnn0))(,())(,(1dLxxnn0)()(1dxnMLxxnn0)(!0,)()!1(10nnxxnML于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有)()(1xxnn,)(!01nnxxnML)11.3(,00hxxx,00时从而当hxxx)()(1xxnnnnxxnML)(!01,!11收敛由于正项级数nnnhnML.],[)9.3(,00上一致收敛在级数判别法知由hxxsWeierstras.],[)}({00上一致收敛在因而函数序列hxxxn,!1nnhnML现设),()(limxxnn,00hxxx,],[)}({00得的连续性和一致收敛性在则由hxxxn且上连续在,],[)(00hxxxbyx0)(命题4.],[)5.3()(00上连续解定义于是积分方程hxxx证明:条件有由Lipschitz))(,())(,(xxfxxfn)()(xxLn,],[)}({00的一致收敛性得在以及hxxxn)},({xfn函数列)),(,(],[00xxfhxx上一致收敛于函数在)))(,()((xxfxfnn得两边取极限因此对,)7.3()(limxnn001lim(,())xnxnyfd001lim(,())xnxnyfd即)(x00(,())xxyfd.],[)5.3()(00上连续解定义于是积分方程故hxxx命题5].,[),()(,],[)5.3()(0000hxxxxxhxxx则一个连续解上的定义于是积分方程设证明:,)()()(xxxg设,],[)(00上非负连续函数是定义于则hxxxg00()(,())xxxyfd00()(,())xxxyfd由条件得的及Lipschitzyxf),()()()(xxxg00(,())(,())xxxxfdfd0((,())(,()))xxffd0(,())(,())xxffd0()()xxLd0()xxLgd0()((,())(,()))xxgxffd0()(),xxuxLgd令,],[)(00上连续可微函数是定义于则hxxxu于是且),()(),()(0,0)('0xLgxuxuxgxu),()('xLuxu,0))()(('LxexLuxu,0)()(00LxLxexuexu积分得到对最后一个不等式从xx0,0))()(('LxexLuxu,0)()(xuxg故].,[,0)(00hxxxxg即综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.)()(0xuxg一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题)1.3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形区域其中)2.3(,,00byyaxx,上连续:条件满足并且对Lipschitzy常成立使对所有即存在RyxyxL),(),,(,0212121),(),(yyLyxfyxf,)1.3(0上的解存在且唯一在区间则初值问题hxx),(),,min(),(yxfMaxMMbahRyx这里命题1初值问题(3.1)等价于积分方程)5.3(),(00dtytfyyxx构造Picard逐步逼近函数列)}({xn00)(yx00100()(,())xnnxxyfdxxxh),2,1(n命题2连续且满足和对于所有)(],,[00xhxxxnn)8.3(,)(0byxn命题3.],[)}({00上一致收敛在函数序列hxxxn命题4.],[)5.3()(00上连续解定义于是积分方程hxxx].,[),()(lim00hxxxxxnn记命题5].,[),()(,],[)5.3()(0000hxxxxxhxxx则一个连续解上的定义于是积分方程设2存在唯一性定理的说明.,,),,()1(件容易判断的两个充分条下面给出在实际应用中一般比较困难条件满足验证它是否关于根据定义去上有定义的函数对于给定在LipschitzyyxfR.),(,),(),(10条件满足上关于在则有界存在且的偏导数上关于在如果LipschitzyRyxfyxfyRyxfy.),(,),(),(20条件满足上关于在则连续的偏导数上关于在如果LipschitzyRyxfyxfyRyxfy),(),(21yxfyxf21212))(,(yyyyyxfy21yyL的几何意义定理中},min{)2(Mbah,),(MyxfR中有在矩形,)1.3(之间与的解曲线的斜率必介于故初值问题MM,),(00的直线和分别作斜率为过点MMyx;)(),)((00中有定义在解所示如图时当axxaxxyaabM.)(,,,;)(),)((0000内在证解才能保时只有当使得无意义外去矩形它有可能在区间内跑到中有定义在不能保证解所示如图时而当RxyMbxxMbxRaxxaxxybabM.0hxx范围为故要求解的存在即为线性方程时当方程,)1.3()3()()(xQyxpdxdy.,],[,],[,)(,1,],[)(),(000且连续有定义在所确定的解且任一初值的条件能满足定理上连续时在则当xyxyxQxP3一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程)5.3(,0),,('yyxF的某邻域中满足如果在点),,('000yyx,),,(),,(1''0连续且存在连续偏导数对所有变元yyxyyxF,0),,(2'0000yyxF,0),,(3''0000yyyxF则方程(3.5)存在唯一解)(),(0为足够小的正数hhxxxyy满足初始条件)8.3(,)(;)('00'000yxyyxy