函数列一致收敛性和Dini定理

　第１４卷第３期２０１２年６月安顺学院学报ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＡＮＳＨＵＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＶｏｌ．１４　Ｎｏ．３Ｊｕｎ．２０１２檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲檲殘殘殘殘理工科学与应用收稿日期：２０１２－０３－１４作者简介：何挺（１９６４～），贵州安顺人，安顺学院数学与计算机科学系副教授。研究方向：函数论。函数列一致收敛性和Ｄｉｎｉ定理何　挺（安顺学院数学与计算机科学系，贵州　安顺５６１０００）摘　要：一致收敛是数学分析课程中基本的概念之一，文章以函数列一致收敛性及Ｄｉｎｉ定理的二种证明方法，分析了函数列一致收敛性的概念及其应用。关键词：函数列；一致收敛；局部；整体中图分类号：Ｏ１７４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３－９５０７（２０１２）０３－０１２７－０３　　函数列一致收敛性的概念对于初学者来说有一定的困难，我们可以在已学过的函数级数基础上，将函数列与函数级数对照起来学习，如同数值级数与数列之间的关系一样，函数级数与函数列只是形式不同，没有本质的区别。因为任意函数级数∑∞ｎ＝１ｕｎ（ｘ）都对应着它的部分和函数列｛Ｓｎ（ｘ）｝。反之，任意函数列｛ｆｎ（ｘ）｝，都对应着一个函数级数∑∞ｎ＝１［ｆｎ（ｘ）－ｆｎ－１（ｘ）］（ｆ０（ｘ）≡０），此级数的部分和函数列恰是已知的函数列｛ｆｎ（ｘ）｝。因此，关于函数级数的一致收敛概念可相应地转移到函数列上来。另外，为了对函数列一致收敛定义有一个全面的认识和理解，本文先介绍函数列点的收敛及逐点收敛的定义，然后自然导出函数列一致收敛的定义，并阐述它们之间的内在关系，最后具体举例说明。一、函数列点的收敛、逐点收敛、一致收敛１、函数列点的收敛定义１：函数列｛ｆｎ（ｘ）｝在ｘ０点收敛于ｆ（ｘ），是指对∶ε＞０，Ｎ（自然数），当ｎ＞Ｎ时，有｜ｆｎ（ｘ）－ｆ（ｘ０）｜＜ε。这里，对ε＞０，满足收敛定义要求的自然数Ｎ并不是唯一的，且有无穷多个。事实上，若Ｎ满足收敛定义的要求，则Ｎ＋１、Ｎ＋２、……都满足收敛定义的要求。而这无穷多个满足收敛定义要求的自然数Ｎ，构成了一个无穷自然数集合Ｅ＝｛Ｎ；当ｎ＞Ｎ时，有｜ｆｎ（ｘ０）－ｆ（ｘ０）｜＜ε｝，Ｅ有下界，如１就是它的一个下界，因而有下确界。而Ｎ０＝ｉｎｆＥ是否存在上确界就不一定了。这在点ｘ０的收敛，实值上是一个数列的收敛问题。２、函数列的逐点收敛定义２：逐点收敛：假设函数列｛ｆｎ（ｘ）｝在点集Ｅ上收敛于ｆ（ｘ），即对ｘ０∈Ｅ，｛ｆｎ（ｘ）｝都在ｘ０点收敛于ｆ（ｘ０）。换句话说，对ε＞０，ｘ０∈Ｅ，Ｎｘ０使ｎ＞Ｎｘ０有｜ｆｎ（ｘ０）－ｆ（ｘ０）｜＜ε。注意在定义２中，当然Ｎｘ０是与ｘ０及ε都有关，对不同的ｘ０，有不同的Ｎｘ０。接下来我们讨论一个问题，即是是否有一个共同的大Ｎ，它对点集Ｅ上每一点都满足收敛性定义的要求呢？这就决定于集合｛Ｎｘ０：ｘ０∈Ｅ、当ｎ＞Ｎｘ０时，有｜ｆｎ（ｘ０）－ｆ（ｘ０）｜＜ε｝有无上界了？若集合｛Ｎｘ０：ｘ０∈Ｅ、当ｎ＞Ｎｘ０时，有｜ｆｎ（ｘ０）－ｆ（ｘ０）｜＜ε｝存在上界或上确界，就会产生一个新的定义“一致收敛”。３、函数列的一致收敛定义３：设在点集Ｅ上的函数列｛ｆｎ（ｘ）｝与ｆ（ｘ）函数，对ε＞０，Ｎ；当ｎ＞Ｎ和ｘ∈Ｅ有｜ｆｎ（ｘ）－ｆ（ｘ）－｜＜ε成立，则称函数列｛ｆｎ（ｘ）｝在点集Ｅ上一致收敛于ｆ（ｘ）。由上定义可得出：一般收敛是反映局部性质，而一致收敛是反映整体性质。例：（１）｛ｆｎ（ｘ）｝＝｛ｘｎ｝在［－α，α］（０＜α＜１）上有共同的Ｎ；（２）在［０，１）上就没有共同的大Ｎ。解：（１）ｘ∈（－１，１）　则ｆｎ（ｘ）＝ｌｉｍｎ→∞ｘｎ＝０·７２１·即｛ｆｎ（ｘ）｝＝｛ｘｎ｝在（－１，１）内收敛于ｆ（ｘ）＝０。对ε＞０，要使ｎ＞Ｎ和－α≤ｘ≤α　　有｜ｆｎ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝｜ｘｎ｜＜ε成立当ｘ≠０时，　　有ｎｌｇ｜ｘ｜＜ｌｇε，只要当ｎ＞Ｎ时，有ｎｌｇα＜ｌｇε即ｎ＞ｌｇεｌｇα（ｌｇα＜０当０＜α＜１）成立只要取Ｎ＝［ｌｇεｌｇα］即可。　　这就是共同的大Ｎ了（在［－α，α］上）∴｛ｆｎ（ｘ）｝＝｛ｘｎ｝在［－α，α］一致收敛于０（２）在ｘ∈［０，１）内，存在ε０＝１２　对Ｎ（自然数）都存在Ｎ０＝２　Ｎ＞Ｎ　　ｘ０＝２－１２　Ｎ∈［０，１）使｜ｆｎ（ｘ０）－ｆ（ｘ０）｜＝（ｘ０－１２　Ｎ）Ｎ０＝（２－１２　Ｎ）２　Ｎ＝１２成立。这说明了集合｛Ｎｘ０：ｘ０，Ｎ０，对应ｎ＞Ｎ０有｜ｆｎ（ｘ０）－ｆ（ｘ０）＜ε｝不存在上界。∴｛ｆｎ（ｘ）｝＝｛ｘｎ｝在［０，１）不一致收敛于０二、一致收敛的两种情形在对函数列一致收敛的定义有了一定认知的基础上，将对一致收敛不同的情形作简要的讨论，以达到对函数列一致收敛定义的理解起到一个推广延伸的作用。１、内闭一致收敛｛ｆｎ（ｘ）｝＝｛ｘｎ｝，虽然在［０，１）内不一致收敛，但在［－α，α］（－１，１）上一致收敛，即对（－１，１）内任何一个闭区间上都一致收敛。这种性质称为内闭一致收敛。即：定义４：设Ｅ为区间，若对任意［α，β］Ｅ，｛ｆｎ（ｘ）｝在［α，β］上都一致收敛于ｆ（ｘ），则称｛ｆｎ（ｘ）｝在区间Ｅ内闭一致收敛于ｆ（ｘ）。若在｛ｆｎ（ｘ）｝区间Ｅ内闭一致收敛于ｆ（ｘ），则在Ｅ上收敛于ｆ（ｘ）对ｘ０∈Ｅ，一定［α，β］Ｅ　使α≤ｘ０≤β由｛ｆｎ（ｘ）｝在Ｅ内闭一致收敛于ｆ（ｘ），故在［α，β］上一致收敛于ｆ（ｘ），当然在［α，β］上收敛于ｆ（ｘ），显然在ｘ０收敛于ｆ（ｘ０），从而在Ｅ上收敛于ｆ（ｘ）。反之不一定成立。若｛ｆｎ（ｘ）｝在区间Ｅ上一致收敛于ｆ（ｘ），则在Ｅ内闭一致收敛于ｆ（ｘ）。但反之不一定成立。例如：｛ｘｎ｝在（－１，１）内闭一致收敛于０，但在（－１，１）内不一致收敛。因由上例，｛ｘｎ｝在［０，１）上不一致收敛，当然在（－１，１）内不一致收敛。２、近于一致收敛定义５：设｛ｆｎ（ｘ）｝与ｆ（ｘ）定义在点集Ｅ的函数，如对δ＞０，ｅＥ使ｍｅ＜δ而｛ｆｎ（ｘ）｝在Ｅ＼ｅ上一致收敛，则称｛ｆｎ（ｘ）｝在Ｅ上近于一致收敛。即指当去掉一个测度可任意小的某点集后一致收敛。由定义可知，内闭一致收敛，对Ｅ确定义为区间，对δ＞０（预先给定的）可使集合Ｅ＼［ａ，ｅ］之测度小于δ（∵对点集Ｅ，总存在闭集ＦＥβ１ｍ（Ｆ＼Ｅ）＜δ，而对于区间当然成立）。这说明了内闭一致收敛，当然近一致收敛。反之则不一定成立。例如定义在［０，１］的函数列｛ｆｎ（ｘ）｝ｆｎ（ｘ）＝１２ｎ　　　　当ｘ为无理数　１当ｘ烅烄烆为有理数在［０，１］近于一致收敛于０，但在［０，１］不收敛，当然不内闭一致收敛。三、Ｄｉｎｉ定理的两种证明方法为了加深对函数列一致收敛概念的进一步理解，给出Ｄｉｎｉ定理的两种证明方法，一是加强理论方面的提高，二是使我们对函数列一致收敛必须满足的条件有一个较为全面的认识。Ｄｉｎｉ定理：设函数列｛ｆｎ（ｘ）｝在有界闭区间［ａ，ｂ］上单调且收敛于ｆ（ｘ），若ｆ（ｘ）（ｎ＝１，２，…）与ｆ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上连续，则在［ａ，ｂ］上｛ｆｎ（ｘ）｝一致收敛于ｆ（ｘ）证明：【证法一】不妨设｛ｆｎ（ｘ）｝是递增函数列。反证法：假设｛ｆｎ（ｘ）｝在［ａ，ｂ］上不一致收敛于ｆ（ｘ），则ε０＞０，对Ｎｉ，都存在相应的ｎ＞Ｎｉ和ｘｉ∈［ａ，ｂ］，使得ｆ（ｘｉ）－ｆｎｉ（ｘｉ）≥ε０现取Ｎ１＝１，Ｎｉ＋１＝ｎｉ（ｉ＝１，２……）则得自然数列ｎ１＜ｎ２＜…ｎｉ＜…及含于［ａ，ｂ］且ｆ（ｘｉ）－ｆｎｉ（ｘｉ）≥ε０使成立的点列ｘ１，ｘ２，…ｘｉ…由外氏聚点定理，有界点列｛ｘｉ｝必存在收敛于它的点ξ∈［ａ，ｂ］的子列｛ｘｉｋ｝，且有ｆ（ｘｉｋ）－ｆｎｉｋ≥ε０　　　　　　　（※）现由｛ｆｎ（ｘ）｝在ｘ＝ξ在递增且收敛于ｆ（ξ），故对上述ε０＞０Ｎ，当ｎ＞Ｎ，使得ｆ（ξ）－ｆｎ（ξ）＜ε０又由ｆ（ｘ）－ｆｎ（ｘ）在点ξ的连续性及ｘｉｋ→ξ（ｋ→∞），所以当ｋ充分大时，有·８２１·安顺学院学报　２０１２年第３期ｆ（ｘｉｋ）－ｆＮ（ｘｉｋ）＜ε０再由｛ｆｎ（ｘ）｝的递增性，当ｎｉｋ＞Ｎ时有ｆ（ｘｉｋ）－ｆｎｉｋ（ｘｉｋ）＜ｆ（ｘｉｋ）－ｆＮ（ｘｉｋ）＜ε０这与（※）式相矛盾。此定理也可直接证明【证法二】设ｆｎ（ｘ）单调减少，即对每一点有ｘ∈［ａ，ｂ］有ｆｎ（ｘ）＞ｆｎ＋１（ｘ）　ｎ＝１，２……令ｇｎ（ｘ）＝ｆｎ（ｘ）－ｆ（ｘ）则在［ａ，ｂ］上ｇｎ（ｘ）→０且ｇｎ（ｘ）≥ｇｎ＋１（ｘ）下面证明ｇｎ（ｘ）一致收敛于０。设ε＞０，对每个ｘ∈［ａ，ｂ］，存在整数ｎ，使０≤ｇｎｘ（ｘ）＜ε由连续性及｛ｇｎ（ｘ）｝单调减少，存在含ｘ的开区间Ｇ（ｘ）使ｔ∈Ｇ（ｘ）及ｎ≥ｎｘ时，有０≤ｇｎ（ｔ）＜ε由于［ａ，ｂ］为闭区间，存在有限个点ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ使［ａ，ｂ］Ｇ（ｘ１）∪Ｇ（ｘ２）∪…∪Ｇ（ｘｍ）令ｎ０＝ｍａｘ｛ｎｘ１，ｎｘ２，…，ｎｘｍ｝由０≤ｇｎ（ｔ）＜ε得知ｎ≥ｎ０，时对所有ｔ∈［ａ，ｂ］有０≤ｇｎ（ｔ）＜ε这就证明了ｇｎ（ｘ）一致收敛于０。Ｕｎｉｆｏｒｍ　Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　Ｄｉｎｉ　ＴｈｅｏｒｅｍｓＨｅ　Ｔｉｎｇ（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ａｎｓｈｕｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａｎｓｈｕｎ５６１０００，Ｇｕｉｚｈｏｕ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ，ｔｅａｃｈｉｎｇｍａｔｅｒｉａｌｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｆｕｎｃ－ｔｉｏｎｓ，ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｏｆ　ｕｎｂｏｕｎｄ－ｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｗｈｅｎ（ｏｒ），ｔｈｅ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｔｈｅｒ．Ｈｅｒｅ　ｏｎｌｙ　ｔｈｅ　ｓｅ－ｑｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｗｉｌｌ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｐｏｉｎｔｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ，ａｎｄ　Ｄｉｎｉ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ｇｉｖｅ　ｔｗｏ　ｋｉｎｄｓ　ｏｆ　ｐｒｏｏｆ，ｓｏ　ａｓ　ｔｏ　ａｃｈｉｅｖｅ　ａ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ．Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｃｏｌｕｍｎ；Ｕｎｉｆｏｒｍ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｐａｒｔ；ｏｖｅｒａｌｌ（责任编辑：王德红）·９２１·安顺学院学报　２０１２年第３期