对一道初中数学竞赛题的推广(1)

1对一道初中数学竞赛题的推广安徽省岳西中学储炳南（246600）1问题提出2006年“信利杯”全国初中数学竞赛第13题是这样一道题：已知点P为⊙O外一点，过点P作圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B，过点A作PB的平行线，交⊙O于点C，连结PC，交⊙O于点E，连结AE，并延长AE交PB于点K，求证：KBCEACPE⋅=⋅（如图1所示）。笔者在对此题进行探讨时，首先利用《几何画板》数学软件进行演示性试验，发现该题的结论可以推广到抛物线、椭圆和双曲线中。2问题的推广推广一：已知点P为抛物线（或椭圆或双曲线）外一点，过点P作抛物线（或椭圆或双曲线）的两条切线，切点分别为A、B，过点A作PB的平行线，交抛物线（或椭圆或双曲线）于点C，连结PC，交抛物线（或椭圆或双曲线）于点E，连结AE，并延长AE交PB于点K，求证：KBCEACPE⋅=⋅。推广二：已知点P为圆（或抛物线或椭圆或双曲线）外一点，过点P作圆（或抛物线或椭圆或双曲线）的两条切线，切点分别为A、B，PB中点为K，连AK交圆（或抛物线或椭圆或双曲线）于点E，连结PE，交圆（或抛物线或椭圆或双曲线）于点C，连结AC，则：AC∥PB。3推广的证明推广一的证明一：抛物线情形证明：不妨设抛物线方程为)0(2≠=aaxy，过点),(00yxP与抛物线相切的切线斜率为k,点A、B的坐标为：),(11yxA，),(22yxB。联立方程组：⎩⎨⎧-=-=)(002xxkyyaxy消去y得：0002=-+-ykxkxax……①∴0)(4002=--=ΔykxakKECPOAB图1KECPOAB图2xy2⇒044002=+-aykaxk∴0214axkk=+，0214aykk=akkx4210+=⇒，akky4210=……②∵0=Δ时，方程①有等根，∴akx211=，akx222=∴A、B两点坐标为)4,2(211akakA，)4,2(222akakB又由②可知点P的坐标为)4,4(2121akkakkP+∵AC∥PB∴AC的方程为：)2(41221akxkaky-=-，即akkakxky2421212-+=联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-+==akkakxkyaxy24212122消去y得：042212122=-+-akakkxkax∴akxxC21=+akkakakxakxC222121212-=-=-=⇒∴点C的坐标为)4)2(,22(21212akkakkC--∴直线PC的方程为：)(224)2(001202120xxxakkyakkyy-----=-∵akkx4210+=，akky4210=代入上式并化简得：akkxkky12434212212---=3联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧---==akkxkkyaxy124342122122消去y得：0124342122122=-+--akkxkkax∴3412kkxxCE-=+⇒CExkkx--=3412akkakkkk622234121212+=---=∴E点坐标为：)36)2(,62(21212akkakkE+-∴AE的方程为：)2(262436)2(411122121221akxakakkakakkaky--+-+=-化简得：akkkxkky12232212112+-+=……③又∵切线PB的方程为)2(42222akxkaky-=-即akxky4222-=……④联立③④得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+=akxkyakkkxkky412232222212112，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=akkkyakkx883222121∴点K的坐标为：)8,83(222121akkkakkK++又∵PB中点的横坐标和纵坐标分别为：akkakakkxx8322422122120+=++=+，akkkakakkyy824422221222120+=+=+4∴点K与PB的中心重合，即PK=KB。又∵AC∥PB，∴△AEC∽△KEP⇒KBCEACPEKBPKPEPKCEAC⋅=⋅⇒⎪⎭⎪⎬⎫==Q3．2推广一的证明二:椭圆情形笔者在对推广一的情形二证明时，首先尝试用初等方法直接证明结论，发现证明过程中计算异常繁琐，为此，我们作变换f：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==byyaxx''，则在变换f下，圆O：122=+yx变为椭圆O’：1''2222=+byax，下面我们证明在变换f下有如下结论：（1）过圆O：122=+yx上任意一点),(00yxM的切线在变换f下为椭圆O’：1''2222=+byax的切线；（2）两平行直线在变换f下仍然为两平行直线：（3）线段的中点在变换f下仍然为线段的中点。证明：（1）因为过圆C：122=+yx上任意一点),(00yxM的切线方程为：1:00=+yyxxl，∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==byyaxx''，将其代入圆C：122=+yx中得：()()1'':'2222=+byaxC，即圆C：122=+yx在变换f：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==byyaxx''下，得到的轨迹为椭圆1'':'2222=+byaxC同理可证：点),(00yxM在变换f下得到的点)','('00yxM也是椭圆1'':'2222=+byaxCKECPF2oF1AB图35上的点。又∵1:00=+yyxxl在变换f下得到'l的方程为：1'''':'00=⋅+⋅bybyaxaxl，即1'''':'2020=+byyaxxl不难证明1'''':'2020=+byyaxxl是过椭圆：1''2222=+byax上的点)','('00yxM的切线。（2）设11:bkxyl+=，)(:2122bbbkxyl≠+=∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==byyaxx''，∴111'''':'bbxakbybaxkbyl+=⇒+=222'''':'bbxakbybaxkbyl+=⇒+=∴'1l∥'2l（3）设),(11yxA，),(22yxB的中点为),(00yxK，则2210xxx+=，2210yyy+=∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==byyaxx''，∴由2210xxx+=⇒2'''210axaxax+=⇒2'''210xxx+=，同理可证：2'''210yyy+=，∴)','('00yxK是''BA的中点（其中)','('11yxA，)','('22yxB）。6由以上结论可知，在变换f下，圆的切线PA、PB变为椭圆的切线，AC与PB在变换f下仍然平行，K在变换f下仍然为PB的中点，实际上是：在变换f下保持平行性和结合性不变，这恰是仿射几何的一个结论。所以在椭圆情形下结论仍然成立。3．3推广一的证明三：双曲线情形对于双曲线情形，作变换：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅==''ybiyaxx（其中i为虚数单位）来解决该问题，而推广二的证明，类似于推广一，有兴趣的读者可自行证之。作者简介：储炳南（1964—），男，安徽省岳西人，安徽省岳西中学高级教师，学士。