函数单调性的判定法(精)

第四节一、函数单调性的判定法机动目录上页下页返回结束二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增,)0)((xf(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得0故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,机动目录上页下页返回结束证毕例1.确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xoy12机动目录上页下页返回结束yxo说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,32xy2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,yox3xy机动目录上页下页返回结束例2.证明时,成立不等式证:令,2sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0从而因此且证证明目录上页下页返回结束AB定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.图形是凸的.yox2x1x221xxyox1x221xx2xyox二、曲线的凹凸与拐点机动目录上页下页返回结束定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf221xx!2)(1f21)(x221xx)()(2fxf221xx)(f221xx)(2x221xx!2)(2f22)(x221xx两式相加)(2)()(21fxfxf221xx22!21)(12xx)]()([21ff,0)(时当xf),(2)()(21fxfxf221xx说明(1)成立;(2))(f221xx)(1x221xx机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上有二阶导数证毕例3.判断曲线的凹凸性.解:,43xy故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但)(xf在两侧异号,0x则点))(,(00xfx是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,xyo机动目录上页下页返回结束例4.求曲线的拐点.解:,3231xy3592xyxyy0)0,(),0(不存在0因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸机动目录上页下页返回结束)(3632xx例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0y得,,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32yxy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸机动目录上页下页返回结束32)1,0(),(271132内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在I上单调递增Ixxf,0)(在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(Ixxf,0)(+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点机动目录上页下页返回结束思考与练习]1,0[上,0)(xf则,)1(,)0(ff)0()1(ff或)1()0(ff的大小顺序是())0()1()0()1()(ffffA)0()0()1()1()(ffffB)0()1()0()1()(ffffC)0()1()0()1()(ffffD提示:利用)(xf单调增加,)10()()0()1(fff及B1.设在机动目录上页下页返回结束.),(21)1,(2121e2.曲线21xey的凹区间是凸区间是拐点为提示:)21(222xeyx),(2121),(21及作业P1513(1),(7);4(2),(4);8(3),(6);9(3);10;12;13;14;;第五节目录上页下页返回结束112xxy有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：yy222)1(21xxx3223)1()133(2xxxx32)1()32)(32)(1(2xxxx备用题xxx2)1()1(222)1(x42)1(x)22(x22)1(x)21(2xx)1(22xx2机动目录上页下页返回结束令0y得,11x,)1,1(从而三个拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x,)34831,32()34831,32(3211348311134831机动目录上页下页返回结束证明:20x当时，.2sinxx有证明:xxxF2sin)(令,0)0(F,则)(xF)(xF)(xF是凸函数)(xF即xx2sin2.0)2(F2cosx0)2(),0(minFF0机动目录上页下页返回结束(自证)