函数图象及其变换

函数图像及其变换函数图像一次函数y＝kx＋b1．几种函数的图像函数图像二次函数y＝ax2＋bx＋c函数图像指数函数y＝ax函数图像对数函数y＝logax基本初等函数及图象（大致图像）函数图像一次函数y=kx+b二次函数y=ax2+bx+c指数函数y=ax对数函数y=logaxy＝f(x＋h)y＝f(mx＋h)②上下平移：y＝――→k＞0时，上移k个单位k＜0时，下移|k|个单位f(x)y＝_______.f(x)＋kf(ωx)Af(x)(3)对称变换①y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于______对称；②y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于_____对称；③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于_____对称；x轴y轴原点④y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线________对称；⑤y＝f(x)与y＝－f－1(－x)的图象关于直线_______对称；⑥y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线______对称．y＝xy＝－xx＝a(4)翻折变换①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到_________的图象；②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得__________的图象．y＝|f(x)|y＝f(|x|)(3)伸缩变换①y＝Af(x)(A0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标而得到；②y＝f(ax)(a0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标而得到.A不变不变1．f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的()【答案】B【解析】2．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度【解析】由y＝2x得到y＝2x－3－1，需用x－3换x，用y＋1换y，即x′＝x＋3，y′＝y－1，∴按平移向量(3，－1)平移，即向右平移3个单位，向下平移1个单位．【答案】A3．函数f(x)＝ax－b的图象如右图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0【解析】因图象是递减的，故0a1.又图象是将y＝ax的图象向左平移了，故b0，∴选D.【答案】D4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集是________.【解析】由奇函数的图象关于原点对称，画出x∈[-5,0]的图象，可知不等式f(x)0的解集是(-2,0)∪(2,5]．【答案】(-2,0)∪(2,5]作出下列各个函数的图像：(1)y＝2－2x；(2)y＝log13[3(x＋2)]；(3)y＝|log12(－x)|.(1)作函数y＝2x的图象关于x轴对称的图象得到y＝－2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y＝2－2x的图象．如图1；(2)因为y＝log13[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.所以可以先将函数y＝log3x的图象向左平移2个单位，可得y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于x轴对称的图象，得y＝－log3(x＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y＝－log3(x＋2)－1的图象，即为y＝log13[3(x＋2)]的图象．如图2；(3)作y＝log12x的图象关于y轴对称的图象，得y＝log12(－x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y＝|log12(－x)|的图象．如图3.1.作函数图象的一般步骤为：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数解析式．(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如最值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．作出下列函数的图像..)21()3(;112)2(|);lg|(lg21)1(||xyxxyxxy首先将简单的复合函数化归为基本初等函数，然后由基本初等函数图象变换得到.思维启迪解作出的图象，将的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得的图象.（3）作出的图象，保留图象中x≥0的部分，加上的图象中x0的部分关于y轴的对称部分，即得的图象.其图象依次如下：).1(lg),10(0)1(xxxy.211,112)2(xyxxy得由xy1xy1211xyxy)21(xy)21(xy)21(||)21(xy（1）若函数解析式中含绝对值，可先通过讨论去绝对值，再分段作图.（2）利用图象变换作图.探究提高作出下列函数的大致图像：(1)y＝x3|x|；(2)y＝x＋2x－1；(3)y＝|log2x－1|；(4)y＝2|x－1|.【解析】(1)y＝x2(x＞0)－x2(x＜0)，利用二次函数的图象作出其图象，如图①.(3)先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上及x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2x-1|的图象，如图③.(4)先作出y=2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y=2|x|的图象，再将y=2|x|的图象向右平移一个单位，即得y=2|x-1|的图象，如图④.由图象求解析式如图所示，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数解析式．【思路点拨】分段求函数解析式，再合成分段函数形式，本题分别设为一次函数和二次函数形式，应抓住特殊点(0,2)，(1,1)，(2,2)，(3,1)和(4,2)．设左侧射线对应的解析式为y＝kx＋b(x≤1)，∵点(0,2)，(1,1)在此射线上．∴k＋b＝1b＝2⇒k＝－1b＝2.∴左侧射线对应的解析式为y＝－x＋2(x≤1)．同理，当x≥3时，右侧射线对应的解析式为y＝x－2(x≥3)．设抛物线对应的解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)．将点(1,1)代入得a＋2＝1，∴a＝－1.∴抛物线对应的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)综上所述，所求函数解析式为y＝－x＋2(x＜1)，－x2＋4x－2(1≤x≤3)，x－2(x＞3).由函数图象求其解析式，要注意观察各段函数所属的基本函数模型，常用待定系数法，抓住特殊点，从而确定系数．1．现有四个函数：(1)y＝x·sinx；(2)y＝x·cosx；(3)y＝x·|cosx|；(4)y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则图象(1)(2)(3)(4)对应的函数序号安排正确的一组是()A．(4)(1)(2)(3)B．(1)(4)(3)(2)C．(1)(4)(2)(3)D．(3)(4)(2)(1)【解析】题图①对应的是偶函数图象，对应(1)；题图②对应的函数是非奇非偶函数，对应(4)；题图③对应的函数，当x＞0时存在函数值为负数，对应(2)；故选C.【答案】C例2设ab,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是（）解析当xb时，y0,xb时，y≤0.故选C.C(1)函数y＝的图象大致为()A3.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是()2423lgxxx例：方程的实根个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个B5.f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个交点，则a=.解析y1=|4x-x2|,y2=a，则两函数图象恰有三个不同的交点.如图所示，当a=4时满足条件.4已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}．【思路点拨】(1)画出f(x)根据图象写出单调区间．(2)mM.【解析】f(x)＝(x－2)2－1，x∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x－2)2＋1，x∈(1，3)，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，+∞)，递减区间为(-∞，1]，[2,3]．(2)由图象可知y=f(x)与y=mx图象有四个不同的交点，直线y=mx应介于x轴与切线l1之间．函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果、检验解答是否正确的重要工具，也是运用数形结合思想解题的前提．从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．2．已知x1是方程xlgx＝2008的根，x2是方程x10x＝2008的根，则x1x2等于()A．2005B．2006C．2007D．2008【答案】D【解析】(12分)已知函数f(x)＝ax2＋1bx＋c(a＞0，b＞0，c∈R)是奇函数，当x＞0时，f(x)有最小值2，其中b∈N*且f(1)＜52.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【思路点拨】(1)根据下列条件：①f(x)为奇函数；②当x＞0时，f(x)有最小值2；③b∈N*，且f(1)＜52，可求a，b，c的值，从而可以确定函数f(x)的解析式．(2)可先假设存在，然后根据对称性来解决．【规范解答】(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴a＋1－b＋c＝－a＋1b＋c，∴c＝－c，∴c＝0.此时f(x)＝ax2＋1bx显然是奇函数.2分∵a＞0，b＞0，x＞0，∴f(x)＝abx＋1bx≥2ab2，当且仅当x＝1a时，等号成立．于是2ab2＝2，∴a＝b2.5分由f(1)＜52得a＋1b＜52，即b2＋1b＜52，∴2b2－5b＋2＜0.解得12＜b＜2，又b∈N*，∴b＝1，∴a＝1，∴f(x)＝x＋1x.8分(2)设存在一点(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，并且关于点(1,0)的对称点(2－x0，－y0)也在y＝f(x)的图象上．则x20＋1x0＝y0，(2－x0)2＋12－x0＝－y0，10分消去y0得x20－2x0－1＝0.∴x0＝1±2，∴y＝f(x)的图象上存在两点(1＋2，22)，(1－2，－22)关于点(1,0)对称.12分函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性常会放置在一起综合考查．函数f(x)上的某点A(x0，y0)关于点(a，b)的对称点为A′(2a－x0,2b－y0)，利用此关系可求点的坐标或证明函数关于某点的对称问题．1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．2．掌握函数作图的两种基本方法：(1)描点法；(2)图象变换法，包括平移变换、对称变换、伸缩变换．3．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参