高考函数与导数,不等式综合题库2

30已知函数2()(1),()(1)fxxgxkx，函数()()fxgx其中一个零点为5，数列{}na满足12ka，且1()()()0nnnnaagafa．（1）求数列{}na通项公式；（2）试证明11niian；解：函数()()fxgx有一个零点为5，即方程2(1)(1)0xkx，有一个根为5，将5x代入方程得1640k，∴4k，∴12a由1()()()0nnnnaagafa得214()(1)(1)0nnnnaaaa1(1)(441)0nnnnaaaa∴10na或14410nnnaaa由（1）知12a，∴10na不合舍去由14410nnnaaa得1431nnaa方法1：由1431nnaa得131(1)4nnaa∴数列{1}na是首项为111a，公比为34的等比数列∴131()4nna，∴13()14nna（2）13()14nna∴2113331()()444nniian＝3[1()]344[1()]3414nnnn∵对,nN有33()44n，∴3311()1444n∴34[1()]14nnn，即11niian31．设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，22)(xxf．(Ⅰ)求0x时，()fx的表达式；(Ⅱ)令xxgln)(，问是否存在0x，使得)(),(xgxf在x=x0处的切线互相平行？若存在，请求出0x值；若不存在，请说明理由．【解】(Ⅰ)当0x时，0x，222)(2)()(xxxfxf;(Ⅱ)若)(),(xgxf在0x处的切线互相平行，则)(')('00xgxf,xxgxxf1)('4)('000，解得,210x∵x0,得．210x32．已知,aR函数)()(2axxxf．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；（Ⅱ）求函数y＝f(x)在区间[1,2]上的最小值．【解】(Ⅰ)由题意)3()(2xxxf,由0)(xf，解得0x或3x;(Ⅱ)设此最小值为m，而),2,1(),32(323)(2/xaxxaxxxf（1）当0a时，),2,1(,0)(/xxf则)(xf是区间[1,2]上的增函数,所以afm1)1(;（2）当0a时，在320axx或时，；axfxf上是增函数在区间从而),32[)(,0)(/在320ax时，；axfxf上是单减函数在区间从而]32,0[)(,0)(/①当232a，即3a时，afm48)2(;②当2321a，即323a时，.274)32(3aafm③当230a时，afm1)1(.综上所述，所求函数的最小值)3(),2(4)323(,274)23(,13aaaaaam.33已知函数21ln2fxxax(a∈R)（Ⅰ）若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为yxb，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f(x)在(1，+∞)为增函数，求a的取值范围．【解】(1)因为：f'(x)=x-xa(x0)，又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b所以，baIna222122解得：a=2，b=-2In2(2)若函数f(x)在(1，+∞)上恒成立．则f'(x)=x-xa≥0在(1，+∞)上恒成立即：a≤x2在(1，+∞)上恒成立。所以有a≤l34已知函数xxfln)(，xaxg)(，设)()()(xgxfxF.(Ⅰ)当1a时，求函数)(xF的单调区间；（Ⅱ)若以函数)30)((xxFy图象上任意一点),(00yxP为切点的切线斜率21k恒成立，求实数a的最小值.【解】(Ⅰ)由已知可得xxxgxfxF1ln)()()(，函数的定义域为),0(则22111)(xxxxxF由0111)(22xxxxxF可得)(xF在区间),1(上单调递增,0111)(22xxxxxF得)(xF在)1,0(上单调递减(Ⅱ)由题意可知21)(2000xaxxFk对任意300x恒成立即有axx20021对任意300x恒成立，即axxmax200)21(令2121)1(21)2(212120020200xxxxxt则21a，即实数a的最小值为21；35已知函数eaexxfax,0,)(2其中为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数)(xf的单调性；（Ⅱ）求函数)(xf在区间[0，1]上的最大值.解：（Ⅰ）.)2()(axeaxxxf（i）当a=0时，令.0,0)(xxf得若),0()(,0)(,0在从而则xfxfx上单调递增；若)0,()(,0)(,0在从而则xfxfx上单调递减.（ii）当a0时，令.20,0)2(,0)(axxaxxxf或故得且20a若)0,()(,0)(,0在从而则xfxfx上单调递减；若)2,0()(,0)(,20axfxfax在从而则上单调递增；若,2ax),2()(,0)(axfxf在从而则上单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论可知：（i）当a=0时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是.1)1(f（ii）当02a时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是aef)1(.（iii）当2a时，)(xf在区间[0，1]上的最大值是.4)2(22eaaf36已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR（1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(xf在[2)x，上为增函数，求a的取值范围．解：(1)当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)x，，)()()(22xfxxxf()fx∴为偶函数当0a时，2()(00)afxxaxx，取1x，得(1)(1)20(1)(1)20ffffa，(1)(1)(1)(1)ffff∴，∴函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数（2）要使函数)(xf在[2)x，上为增函数等价于'()0fx在[2)x，上恒成立即'2()20afxxx在[2)x，上恒成立，故32ax在[2)x，上恒成立∴3min(2)16ax∴a的取值范围是(16]，37已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：()()fxgx≥（0x）．解：（Ⅰ）设()yfx与()(0)ygxx在公共点00()xy，处的切线相同．()2fxxa∵，23()agxx，由题意00()()fxgx，00()()fxgx．即22000200123ln232xaxaxbaxax，，由20032axax得：0xa，或03xa（舍去）．即有222221523ln3ln22baaaaaaa．令225()3ln(0)2httttt，则()2(13ln)httt．于是当(13ln)0tt，即130te时，()0ht；当(13ln)0tt，即13te时，()0ht．故()ht在130e，为增函数，在13e，∞为减函数，于是()ht在(0)，∞的最大值为123332hee．（Ⅱ）设221()()()23ln(0)2Fxfxgxxaxaxbx，则()Fx23()(3)2(0)axaxaxaxxx．故()Fx在(0)a，为减函数，在()a，∞为增函数，于是函数()Fx在(0)，∞上的最小值是000()()()()0FaFxfxgx．故当0x时，有()()0fxgx≥，即当0x时，()()fxgx≥38设函数21fxxaInx有两个极值点12xx、，且12xx，求a的取值范围，并讨论fx的单调性；解:（I）2222(1)11axxafxxxxx令2()22gxxxa，其对称轴为12x。由题意知12xx、是方程()0gx的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为480(1)0aga，得102a⑴当1(1,)xx时，0,()fxfx在1(1,)x内为增函数；⑵当12(,)xxx时，0,()fxfx在12(,)xx内为减函数；⑶当2,()xx时，0,()fxfx在2,()x内为增函数；39已知函数()2ln2fxxx．（I）求()fx的单调区间；（II）若不等式lnxmxx恒成立，求实数m的取值组成的集合．解：（I）由已知得0x．因为/111()xfxxxx，所以当//(0,1)()0,(1,),()0xfxxfx．故区间(0,1)为()fx的单调递减区间，区间(1,)为()fx的单调递增区间.（II）(i)当(0,1)x时，lnlnxmxmxxxx．令()lngxxxx，则/ln12ln2()()1222xxxfxgxxxxx．由（１）知当(0,1)x时，有()(1)0fxf，所以/()0gx，即得()lngxxxx在(0,1)上为增函数，所以()(1)1gxg，所以1m．(ii)当(1,)x时，lnlnxmxmxxxx．由①可知，当(1,)x时，()lngxxxx为增函数，所以()(1)1gxg，所以1m。综合以上,得1m．故实数m的取值组成的集合为{1}．40设函数axxxxf2331)(，bxxg2)(，当21x时，)(xf取得极值。⑴求a的值，并判断)21(f是函数)(xf的极大值还是极小值；⑵当]4,3[x时，函数)(xf与)(xg的图象有两个公共点，求b的取值范围。解：（1）由题意axxxf2)(2当21x时，)(xf取得极值，所以0)21(f0212212a即1a此时当21x时，0)(xf，当21x时，0)(xf，)21(f是函数)(xf的最小值。（2）设)()(xgxf，则033123bxxx，xxxb33123设xxxxF331)(23，bxG)(32)(2xxxF，令032)(2xxxF解得1x或3x函数)(xF在)1,3(和)4,3(上是增函数，在)3,1(上是减函数。当1x时，)(xF有极大值35)1(F；当3x时，)(xF有极小值9)3(F函数)(xf与)(xg的图象有两个公共点，函数)(xF与)(xG的图象有两个公共点35320b或9b9)35,320(b41已知函数21()ln2(0).2fxxaxxa（1）若函数()fx在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若12a且关于x的方程1()2fxxb在1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列{}na满足：*111,ln2,.nnnaaaanN求证：12nna解：（1）221()(0).axxfxxx依题意()0fx在0x时恒成立，即2210axx在0x恒成立.则22121(1)1xaxx在0x恒成立，即min2)1)11((xa)0(x当1