高考函数知识点总结

函数（一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4．知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。（四）幂函数1．了解幂函数的概念。2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用[来源:学科网]1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.函数概念（一）知识梳理1．映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf:，f表示对应法则注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2．函数的概念(1)函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),((2)函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点1：映射的概念例1．（1）AR，{|0}Byy，:||fxyx；（2）*{|2,}AxxxN，|0,ByyyN，2:22fxyxx；（3）{|0}Axx，{|}ByyR，:fxyx．上述三个对应是A到B的映射．例2．若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个例3．设集合{1,0,1}M，{2,1,0,1,2}N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象()fx的和都为奇数，则映射f的个数是（）()A8个()B12个()C16个()D18个答案：1.（2）；2．81,64,81；3.D考点2：判断两函数是否为同一个函数例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n∈N*）；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1．已知二次函数)(xf满足564)12(2xxxf，求)(xf（三种方法）例2．（09湖北改编）已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为题型2：求抽象函数解析式例1．已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.（08年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为()A.),2[)4,(;B.)1,0()0,4(；C.]1,0()0,4[,;D.)1,0()0,4[,答案：D题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1．（2007·湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,4答案：B.例2．已知函数)(xfy的定义域为][ba，，求)2(xfy的定义域例3．已知)2(xfy的定义域是][ba，，求函数)(xfy的定义域例4．已知(21)yfx的定义域是（-2，0），求(21)yfx的定义域(-3x-1)考点5：求函数的值域1．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域]2133,2133[（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为（5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224xxxy的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。（－48）（9）对勾函数法像y=x+mx，（m0）的函数，m0就是单调函数了三种模型：（1）如4yxx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x[-1,0)(0,4],求值域（2）如44yxx，求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）（3）如123yxx，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数)(xfy的定义域为A，区间AI，如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间；如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数)(xfy，如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的增函数；如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(,)ab内，若总有()0fx，则()fx为增函数；反之，若()fx在区间(,)ab内为增函数，则()0fx，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax,0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)bbaa，减区间为[,0),(0,]bbaa.（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(xgxf在其公共定义域内是增函数（减函数）。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121xxxx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy1分别在)0,(和),0(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(内是单调递减的，只能说函数xy1的单调递减区间为)0,(和),0(。4、函数的最大（小）值设函数)(xfy的定义域为A，如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立，那么称)(0xf为)(xfy的最大值；如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立，那么称)(0xf为)(xfy的最小值。（二）考点分析考点1函数的单调性题型1：讨论函数的单调性例1．（1）求函数20.7log(32)yxx的单调区间；（2）已知2()82,fxxx若2()(2)gxfx试确定()gx的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：(2,),单调减区间为(,1)，（2）222()82(2)(2)gxxx4228xx，3()44gxxx，令()0gx，得1x或01x，令()0gx，1x或10x∴单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)．例2.判断函数f(x)=12x在定义域上的单调性.解：函数的定义域为{x|x≤-1